笔记：不同进制的转换方法

什么是进制转换

进制转换是将数字从一种计数进位规则，转换成另一种规则的过程，核心是保持数字的实际数值不变，只改变表示形式。
关键要点

• 常见进制包括十进制（日常使用，满 10 进 1）、二进制（计算机使用，满 2 进 1）、八进制（满 8 进 1）、十六进制（满 16 进 1）。
  
• 转换的核心逻辑是 “数值等价”，比如十进制的 “5”，二进制表示为 “101”，两者本质是同一个数值。
  
• 就像同样的金额，可换成 “元、角、分”，也能换成 “美元、美分”，金额本身不变，只是计数单位和进位规则变了。
  
• 转换分为 “正向转换”（十进制转其他进制）和 “反向转换”（其他进制转十进制），各有固定计算方法。
  

进制转换方法：按位展开求和法、除基取余法

• 按位展开求和法是非十进制转十进制的方法
  
• 除基取余法是十进制转非十进制的方法
  

按位展开求和法（非十进制→十进制）

核心原理

任何进制的数，本质都是 “每一位数字 × 对应位的位权” 之和。位权的规律是：以目标进制的基数为底，位序（从右往左数，起始为 0）为指数的幂。比如二进制的基数是 2，右数第 1 位（最右边）位权是 \(2^0=1\)，第 2 位是 \(2^1=2\)，第 3 位是 \(2^2=4\)，以此类推。
步骤

• 确定待转换数的每一位数字，以及对应位的 “权值”（\(权值 = 基数^{位序}\)，位序从右往左，位序值从 0 开始）。
  
• 每一位数字与对应权值相乘，得到该位的十进制数值。
  
• 所有位的十进制数值相加，结果即为最终十进制数。
  

示例

• 二进制: \(1001_{(2)} = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9_{(10)}\)
  
• 八进制: \(302_{(8)} = 3 \times 8^2 + 0 \times 8^1 + 2 \times 8^0 = 192 + 0 + 2 = 194_{(10)}\)
  
• 十六进制: \(EA7_{(16)} = 14 \times 16^2 + 10 \times 16^1 + 7 \times 16^0 = 3751_{(10)}\)
  

除基取余法（十进制→非十进制）

核心原理

十进制数可以拆成目标进制基数的若干次幂之和，通过 “除以基数取余数” 的方式，从最低位到最高位依次求出每一位的数字，最后反向排列余数即可。简单说：余数是 “低位”，商继续除是为了求 “高位”。
步骤

• 用十进制数除以目标进制的基数，得到商和余数。
  
• 用上一步的商继续除以基数，重复得到新的商和余数。
  
• 直到商为 0 时停止，将所有余数按 “后得先排” 的顺序排列，即为目标进制数。
  

示例

前 17 个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系

十进制012345678910111213141516二进制0110111001011101111000100110101011110011011110111110000八进制01234567101112131415161720十六进制0123456789ABCDEF10二进制与八进制、十六进制的转换

• 二进制转八进制按 3 位分组、转十六进制按 4 位分组
  
• 反向转换则拆分补 0，不足位数在高位补 0 即可
  

二进制转八进制（2→8）

• 从二进制数的右端开始，每 3 位分为一组。
  
• 若最左端分组不足 3 位，在前面补 0 凑够 3 位。
  
• 每组对应一个八进制数字（0-7），组合结果即为八进制数。
  

二进制转十六进制（2→16）

• 从二进制数的右端开始，每 4 位分为一组。
  
• 若最左端分组不足 4 位，在前面补 0 凑够 4 位。
  
• 每组对应一个十六进制数字（0-9、A-F），组合结果即为十六进制数。
  

八进制 / 十六进制转二进制（8/16→2）

• 八进制转二进制：每一位八进制数，拆成 3 位二进制数（不足 3 位前补 0）。
  
• 十六进制转二进制：每一位十六进制数，拆成 4 位二进制数（不足 4 位前补 0）。
  
• 去掉组合后最左端多余的 0（若有），得到二进制数。
  

小数的进制转换

• 十进制→其他进制：整数部分 “除基取余，逆序排列”，小数部分 “乘基取整，顺序排列”，最后拼接。
  
• 其他进制→十进制：整数部分 + 小数部分均 “按权展开求和”，再合并结果。
  

十进制转其他进制

整数部分：除基取余，逆序排列

• 步骤：用十进制整数除以基数 R，记录余数；再用商继续除以 R，直到商为 0；最后将所有余数从后往前排列，就是 R 进制整数部分。
  
• 示例：十进制 10 转二进制（R=2）
  
  
  • \(10 \div 2 = 5\)，余数 0；
    
  • \(5 \div 2 = 2\)，余数 1；
    
  • \(2 \div 2 = 1\)，余数 0；
    
  • \(1 \div 2 = 0\)，余数 1；
    
  • 逆序排列余数：1010，即 \(10_{(10)} = 1010_{(2)}\)。
    
  
  

小数部分：乘基取整，顺序排列

• 步骤：用十进制小数乘以基数 R，记录整数部分（0 或 1，R=2 时）；再用剩余小数部分继续乘 R，直到小数部分为 0 或达到所需精度；最后将整数部分按顺序排列，就是 R 进制小数部分。
  
• 示例：十进制 0.25 转二进制（R=2）
  
  
  • \(0.25 \times 2 = 0.5\)，整数部分 0；
    
  • \(0.5 \times 2 = 1.0\)，整数部分 1；
    
  • 小数部分为 0，停止；
    
  • 顺序排列整数：01，即 \(0.25_{(10)} = 0.01_{(2)}\)。
    
  
  

其他进制转十进制

整数部分：权重为 \(R^0\)、\(R^1\)、\(R^2\)…（从右往左）

• 步骤：将 R 进制整数的每一位，乘以对应权重，再求和。
  
• 示例：二进制 1010 转十进制（R=2）
  
  
  • 从右往左位值：第 1 位 0（权 \(2^0\)）、第 2 位 1（权 \(2^1\)）、第 3 位 0（权 \(2^2\)）、第 4 位 1（权 \(2^3\)）；
    
  • 计算：\(1\times 2^3 + 0\times 2^2 + 1\times 2^1 + 0\times 2^0 = 8+0+2+0 = 10\)。
    
  
  

小数部分：权重为 \(R^{-1}\)、\(R^{-2}\)、\(R^{-3}\)…（从左往右）

• 步骤：将 R 进制小数的每一位，乘以对应权重，再求和。
  
• 示例：二进制 0.01 转十进制（R=2）
  
  
  • 从左往右位值：第 1 位 0（权 \(2^{-1}\)）、第 2 位 1（权 \(2^{-2}\)）；
    
  • 计算：\(0\times 2^{-1} + 1\times 2^{-2} = 0+0.25 = 0.25\)。
    
  
  

参考

• 1.1数值及其转换和数据的表示 - 哔哩哔哩
  
• 图解进制转换：二进制、八进制、十进制和十六进制转换 - C语言中文网
  

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