信号处理中的混频

一, 混频的基本概念

混频(Mixing)是无线信号处理中一个关键步骤, 它的本质是频率变换. 通过将输入信号与本地振荡器 LO 产生的信号进行非线性混合, 产生新的频率成分, 从而将输入信号的频率“搬移”到一个固定的中间频率(Intermediate Frequency, IF)上
为什么需要混频？

• 便于滤波处理: 高频信号难以精确滤波, 而中频信号频率较低, 更容易用低成本实现高性能的滤波器
  
• 提高选择性: 通过中频滤波器可以实现高选择性, 分辨相邻频率的信号
  
• 统一处理路径: 所有频率的信号都变换到同一中频后, 可以使用统一的后续放大, 检波, ADC 等电路
  

二, 混频的工作机制

混频器(Mixer)是一个非线性器件, 常见的有二极管混频器(如肖特基二极管), 场效应管混频器等. 如果想了解非线性器件实现混频的工作原理可以查看后面的说明. 混频器的作用是将两个信号相乘, 输出它们的和频与差频.
混频器的数学模型

假设输入信号为

\[V_{in}(t) = A_{in} \cos(2\pi f_{in} t)\]
本地振荡器信号为

\[V_{LO}(t) = A_{LO} \cos(2\pi f_{LO} t)\]
混频器的输出为两者的乘积(忽略高次项)

\[V_{out}(t) \propto V_{in}(t) \cdot V_{LO}(t)\]
根据三角恒等式

\[\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]\]
所以输出信号为

\[V_{out}(t) = \frac{1}{2} A_{in} A_{LO} [\cos(2\pi (f_{in} + f_{LO}) t) + \cos(2\pi (f_{in} - f_{LO}) t)]\]
也就是说, 混频器输出了两个频率成分

• 和频: \(f_{in} + f_{LO}\)
  
• 差频: \(f_{in} - f_{LO}\)
  

三, 选择中间频率(Intermediate Frequency)

在频谱分析仪中, 我们通常只关心差频, 即

\[f_{IF} = |f_{in} - f_{LO}|\]
这个差频信号就是我们所说的中间频率(Intermediate Frequency, IF), 简称中频
通过调节 LO 的频率 \(f_{LO}\), 我们可以让不同的输入频率 \(f_{in}\) 都变换到同一个中频 \(f_{IF}\) 上.
例如:

• 假设中频 \(f_{IF} = 21.4 \text{ MHz}\)
  
• 如果我们想分析 \(1 GHz\) 的信号, 就将 LO 设置为 \(1.0214 GHz\)
  \[f_{IF} = 1.0214 \text{ GHz} - 1.0 \text{ GHz} = 21.4 \text{ MHz}\]
  

这样, 无论输入信号频率是多少, 都可以通过调节 LO, 将其变换到统一的中频上进行后续处理.
四, 混频在频谱分析仪中的扫描过程

频谱分析仪通过不断改变 LO 的频率, 来扫描(Sweep)输入信号的不同频率成分:

• 设定一个起始频率 \(f_{start}\) 和终止频率 \(f_{stop}\)
  
• 根据中频 \(f_{IF}\), 计算 LO 的频率:
  \[f_{LO} = f_{in} + f_{IF}\]
  
• 每次改变 \(f_{LO}\), 就对应分析一个不同的输入频率 \(f_{in}\)
  
• 通过中频滤波器, 检波器等处理后, 得到该频率点的幅度
  
• 最终在屏幕上绘出频谱图
  

五, 混频中的镜像频率问题

由于混频会产生和频与差频, 因此还存在一个镜像频率的问题:

\[f_{image} = f_{LO} \pm f_{IF}\]
如果输入信号中存在镜像频率成分, 也会被混频到中频上, 造成干扰.
镜像频率的定义

镜像频率 \(f_{image}\) 是指另一个输入频率与 LO 混频后, 也能产生相同的中频 \(f_{IF}\)
根据混频公式:

\[f_{IF} = |f_{in} - f_{LO}|\]
那么, 满足此条件的两个频率就是:

\[f_{image} = f_{LO} \pm f_{IF}\]
其中需要的是 \(f_{image} = f_{LO} - f_{IF}\) , 那么另一个频率 \(f_{image} = f_{LO} + f_{IF}\) 就是需要避免的镜像频率
举个例子, 假设用中频 \(f_{IF} = 21.4 \text{ MHz}\) 和 LO频率 \(f_{LO} = 1021.4 \text{ MHz}\) 检测 \(1GHz\) 的信号, 那么:

• 正常输入信号频率 \(f_{in} = 1000 \text{ MHz}\)
  \[f_{IF} = |1000 - 1021.4| = 21.4 \text{ MHz}\]
  

• 镜像频率 \(f_{image} = 1021.4 + 21.4 = 1042.8 \text{ MHz}\)
  \[f_{IF} = |1042.8 - 1021.4| = 21.4 \text{ MHz}\]
  

也就是说, 1042.8 MHz 的信号也会被混频到 21.4 MHz 的中频上, 从而干扰我们对 1000 MHz 信号的测量
解决方法:

• 在混频前使用带通滤波器滤除镜像频率
  
• 使用高中频设计, 使镜像频率远离有用信号
  

六, 非线性器件实现混频的机制

如果两个频率信号叠加到同一根导线上, 输出信号电压只是两个信号电压相加, 但是在其后经过二极管, 就可以实现两个输入信号的相乘, 核心机制在于它的指数型非线性电流电压(I-V)特性. 这种特性使得二极管能够将两个输入信号的电压为乘积关系的电流信号输出.
二极管电流 \(I_D\) 与电压 \(V_D\) 的关系由肖克利方程描述:

\[I_D = I_S \left( e^{\frac{V_D}{nV_T}} - 1 \right)\]
其中:

• \(I_S\): 反向饱和电流(常数)
  
• \(n\): 发射系数(1 - 2)
  
• \(V_T\): 热电压(≈26 mV @ 25°C)
  

因此电流 \(I_D\) 与电压 \(V_D\) 呈指数关系(非线性), 当 \(V_D > 0.7V\)(硅管)时, 电流急剧上升
假设两个信号叠加在二极管两端:

\[V_D = V_1 + V_2 = A \cos(\omega_1 t) + B \cos(\omega_2 t)\]
代入二极管方程可以得到

\[I_D = I_S \left( e^{\frac{A \cos(\omega_1 t) + B \cos(\omega_2 t)}{nV_T}} - 1 \right)\]
使用泰勒级数展开, 对指数项在 \(V_D=0\) 处小信号近似展开:

\[e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad (x = \frac{V_D}{nV_T})\]
保留到二阶项:

\[I_D \approx I_S \left[ \frac{V_D}{nV_T} + \frac{1}{2} \left(\frac{V_D}{nV_T}\right)^2 \right]\]
代入 \(V_D = V_1 + V_2\):

\[I_D \propto \underbrace{(V_1 + V_2)}_{\text{线性项}} + \underbrace{\frac{1}{2} (V_1 + V_2)^2}_{\text{非线性项}}\]
展开平方项

\[(V_1 + V_2)^2 = V_1^2 + 2V_1V_2 + V_2^2\]
最终得到:

\[I_D \propto \underbrace{V_1 + V_2}_{\text{原始信号}} + \underbrace{V_1^2 + V_2^2}_{\text{谐波}} + \underbrace{2V_1V_2}_{\text{乘积项}}\]
其中的 \(2V_1V_2\) 项正是两个输入信号的乘积:

\[V_1V_2 = A \cos(\omega_1 t) \cdot B \cos(\omega_2 t)\]
根据三角恒等式:

\[\cos A \cos B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A+B) + \cos(A-B) \right]\]
因此:

\[2V_1V_2 = AB \left[ \cos(\omega_1+\omega_2)t + \cos(\omega_1-\omega_2)t \right]\]
输出信号包含:

• 原始频率: \(\omega_1, \omega_2\)
  
• 二次谐波: \(2\omega_1, 2\omega_2\)
  
• 和频与差频: \(\omega_1+\omega_2, |\omega_1-\omega_2|\)
  

例如对于输入信号 \(f_1=1100 MHz, f_2=1010 MHz\), 二极管输出的频谱为

• 90 MHz  f1-f2 (乘积项产生)
  
• 1010 MHz f2
  
• 1100 MHz f1
  
• 2110 MHz f1 + f2 (乘积项产生)
  
• 2020 MHz 2f2
  
• 2200 MHz 2f1
  
• ...
  

通过低通滤波就可以滤掉1GHz以上的信号, 得到 90MHz 的信号进行处理

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