Ctorch开发日志——矩阵乘法优化及数学原理

垢峒 · 2025-8-2 20:09:20

随着项目的推进，本作者遇到了目前最棘手的问题，即矩阵乘法的优化

但是有句话说得好

“你越棘手，我越兴奋”

那么，如下是本作者如何把$O(MNK)$（$O(n^3)$）的朴素矩阵乘法一步一步优化到$O(n^{2.81})$ 的全过程

测试环境

macOS Tahoe 26 Beta 2
M3 Pro 11核
18GB
CLion & Cmake
计时器：ctime
矩阵：1024 * 1024 @ 1024 * 1024
为保证准确，时间均为5次测量取平均值
朴素算法实现 & 测速

朴素实现的数学原理

其实就是把矩阵乘的数学公式重写一遍：

\[A={\left[ a_{ij}\right]_{m \times n}} \]

\[B={\left[ b_{ij}\right]_{n \times s}} \]

\[C= {A \times B}=\left[ c_{ij}\right]_{m \times s} \]

\[= \left[ \sum \limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\right]_{m \times s} \]
注意：矩阵乘法不满足交换律
只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同的两个矩阵才能相乘
乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数
概括一下就是

乘积矩阵第i行第j列处的元素等于左矩阵的第i行与右矩阵的第j列对应元素乘积之和

那么，这个很简单，上代码吧
为了测试，所有的矩阵保证满足乘法条件且为2维
时间复杂度 $O(n^3)$

// 原始版本（未优化）
void matrix_mult(float* A, float* B, float* C, int N) {
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
for (int k = 0; k < N; k++)
C[i*N + j] += A[i*N + k] * B[k*N + j];
}

复制代码

在实际测试中，此算法跑出了1898.46ms的优秀成绩
优化一：循环优化

你可能会疑惑，循环优化是什么
故名思义，就是对原有的ijk的循环重新更换顺序为ikj
一个更大的问题来了，凭什么仅仅改变顺序就快了许多

那么不妨看看访问顺序
算法1（朴素实现）：

在这个顺序中，最内层循环是k，它遍历A的一行和B的一列。
对于A的访问是连续的（因为A[k]在内存中是按行存储的，所以k增加时是连续访问），
但是B的访问是不连续的（因为B[k][j]在内存中是按行存储，k增加时访问的是不同行的同一列，所以是跳跃访问）。这样对B的访问会导致缓存失效。

so，真正影响到速度的，就是缓存，在顺序读取中，缓存可以加载一整行，不必跳跃元素访问
那么，有没有一种循环顺序，使得对三个数组均为顺序访问呢
有的兄弟，有的，让我们欢迎仍为$O(n^{3})$的优化算法出场
——“ikj”循环优化

在这个顺序中，最内层循环是j。对于A的访问，固定i和k，所以每次内层循环A[k]是常数。对于B的访问，是B[k][j]，由于j是连续的，所以B的访问是连续的（因为同一行连续列）。同时，C的访问也是连续的（C[j]）。这样，所有的内存访问都是连续的，因此性能更好。

可以自行验证，对于三个数组，均为顺序访问
给出如下代码：
时间复杂度 $O(n^3)$
// 优化后（行优先访问）
void matrix_mult_opt1(float* A, float* B, float* C, int N) {
for (int i = 0; i < N; i++)
      for (int k = 0; k < N; k++)  // k循环提到中间
         for (int j = 0; j < N; j++)
            C[i*N + j] += A[i*N + k] * B[k*N + j];
}
复制代码
在实际测试中，此算法跑出了1462.89ms的优秀成绩
提升：1898.46ms-1462.89ms = 435.57ms 提高22.9%
进阶提升优化二：矩阵分块算法

顾名思义，分块算法即是把矩阵分为多个小矩阵，对每个矩阵操作后再组合出结果，类似分块算法

那么，它为什么快呢

在计算机中，共有三种CPU缓存以及普通内存，即L1、L2、L3 Cache和内存
前三种的速度要比内存快很多很多，大概只有一个CPU周期的延迟，而普通内存可以达到上百周期延迟
而比他们更快的就是寄存器，直接接触CPU，0延迟
唯一的问题是，寄存器的大小只够存储单个值
新的问题来了，怎样把一个巨大的矩阵放到只有128k-1m的L1缓存中呢

聪明的你一定想到了把原矩阵划分为多个小矩阵，每一个都能放到L1内进行运算
那么恭喜你，你已经知道了矩阵分块算法的原理
更确切的说，先定义一个常数 $blocks \in N^{+}$ 作为划分的单位矩阵的行列，
对于原矩阵A，我们把其中的 ${blocks \times blocks}$ 个元素划分为一个新矩阵，记为$a^{'}_{\cdots}$,我们定义:

\[ a^{'}_{11} = \begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1blocks} \\\vdots & \ddots &\vdots \\a_{blocks1} & \cdots & a_{blocks_{ }blocks}\end{pmatrix}\]
其余以此类推，新矩阵$A^{'}$即变为

\[A^{'}=\begin{pmatrix} a^{'}_{11} & \cdots & a^{'}_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a^{'}_{m1} & \cdots & a^{'}_{mn}  \end{pmatrix} \]
正如同我们可以把 $f(x)$ 中的 $x$ 替换为任意多项式（函数），我们同样也可以把矩阵中的每个元素换为一个矩阵，其运算规则仍然成立
so，显而易见的，分块矩阵算法有如下公式：

对于整体而言，

\[\begin{array}{c} C={A^{'}\times B^{'}}=\left[ c_{ij}\right]_{m \times s} = \left[ \sum \limits_{k=1}^{n}a^{'}_{ik}b^{'}_{kj}\right]_{m \times s} \end{array}\]
其中：

\[ a^{'}_{ij} = \begin{pmatrix}a_{[(i-1) \times blocks]{[(j-1)\times blocks]}} & \cdots & a_{[(i-1) \times blocks]{[j\times blocks]}} \\\vdots & \ddots &\vdots \\a_{[i\times blocks]{[(j-1)\times blocks]}} & \cdots & a_{[i\times blocks]{[j\times blocks]}}\end{pmatrix}\]
其中的每个乘法 $a'{ik} \times b'{kj}$ 是子矩阵乘法
这里为了方便看，默认原矩阵的行列均为 blocks 的倍数
那么下一个很自然的问题就是

若行列不为blocks的倍数，怎么办

分两种情况：

$ min(m,n) < blocks $

$ \exists m,n \nmid blocks $

对于1，直接执行普通矩阵乘法即可，因为整个矩阵均可放于L1、L2 Cache中
对于2，我们定义分块矩阵的大小为$ p,q $

\[p = min(blocks,M- i \times blocks)\]

\[q = min(blocks,N - j \times blocks)\]
其中，

\[M，N为被分块矩阵的行列\]

\[i,j为分块矩阵a^{'}_{ij}的下标\]
至此，分块矩阵的全部问题已经解决
给出如下代码：
时间复杂度$O(n^3)$
void block_mult(float* A, float* B, float* C, int N, int BLOCK) {
// 清除结果矩阵
memset(C, 0, N*N*sizeof(float));
// 三层分块循环
for (int i0 = 0; i0 < N; i0 += BLOCK) {
      int i_end = min(i0 + BLOCK, N);  // 计算行边界
      for (int k0 = 0; k0 < N; k0 += BLOCK) {
         int k_end = min(k0 + BLOCK, N);  // 计算中间维度边界
         for (int j0 = 0; j0 < N; j0 += BLOCK) {
            int j_end = min(j0 + BLOCK, N);  // 计算列边界
            // 核心计算：只处理完整块内的元素
            for (int i = i0; i < i_end; i++) {
                  for (int k = k0; k < k_end; k++) {
                     float a_val = A[i*N + k];  // 一次加载A元素
                     // 内层循环：连续访问B和C
                     for (int j = j0; j < j_end; j++) {
                        C[i*N + j] += a_val * B[k*N + j];
                     }
                  }
            }
         }
      }
}
}
复制代码
由于矩阵过小时，分块算法优势不大，且会增加调用开销，因此，这里的测试，$m,n$为2048
实测结果：$blocks = 512$ 时，用时 11515.2ms

而不使用分块仅循环优化的算法用时 16028.9ms
朴素实现用时 18053.45ms
提升：16028.9ms-11515.2ms = $4513.2ms$ 提高：$28.1\%$
高手过招优化三：并行与SIMD

何为并行与SIMD？
并行：多线程同时处理多个分块
SIMD：乘加一体，即一条CPU指令同时处理乘与加
我们这里使用Apple的AMX(Apple Matrix协处理器)（也属于CPU的一部分，并非GPU优化）
对于x86架构和其余ARM架构的处理器，可以使用AVX、AVX_512、SSE等SIMP指令集
它的特性有：

Apple Silicon芯片(M1/M2/M3等)内置的专用矩阵运算单元

可并行处理大量16位浮点(FP16)或整数(INT8)运算

每个AMX单元包含：

8个32KB的寄存器文件

可同时执行2048次乘加运算(16x16x8矩阵)

专用数据通路减少内存访问延迟

以及自动分块
如下是使用AMX的SIMP的代码：
时间复杂度：$O(n^3)$
// 使用Apple的AMX加速BLAS库
         cblas_sgemm(CblasRowMajor, // 行主序存储
                     CblasNoTrans, // 不转置A
                     CblasNoTrans, // 不转置B
                     M,             // A的行数
                     N,             // B的列数
                     K,             // 公共维度
                     1.0f,          // alpha系数
                     a_data,       // A数据指针
                     K,             // A的列步幅（lda）
                     b_data,       // B数据指针
                     N,             // B的列步幅（ldb）
                     0.0f,          // beta系数
                     r_data,       // 结果数据指针
                     N);          // 结果的列步幅（ldc）
复制代码
那么，本次优化最吓人、最恐怖的一次数据来了：
实测数据：202.831ms（4096*4096）
而标准分块+循环优化算法，在2048*2048时，就已经11515.2ms
提升：11312.37 ms 提高：98.2%
数学手段优化4:Strassen算法 & 变种

温馨提示：到这里已经是高等数学内容了（实不相瞒，前面其实也是），有点小烧脑，不过欢迎各位继续跟作者一起尝试，本作者大约花了3小时搞完这一部分的证明
介绍：

Strassen算法是一种通过数学变换减少乘法次数的高效矩阵乘/卷积算法
简要推导：

我们设有如下两个矩阵相乘：

\[\begin{pmatrix}  a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\c_{21} &c_{22}\end{pmatrix}\]
传统计算需要8次乘法：

\[c_{11} = a_{11}\times b_{11} + a_{12}\times b_{21} \\\]

\[c_{12} = a_{11}\times b_{12} + a_{12}\times b_{22} \\\]

\[c_{21} = a_{21}\times b_{11} + a_{22}\times b_{21} \\\]

\[c_{22} = a_{21}\times b_{12} + a_{22}\times b_{22} \\\]
而Strassen算法只需7次乘
接下来，是Strassen算法最精妙绝伦的一步：
作者定义了7个矩阵：

\[\begin{align*}M_1 &= (a_{11} + a_{22})(b_{11} + b_{22}) \\M_2 &= (a_{21} + a_{22})b_{11} \\M_3 &= a_{11}(b_{12} - b_{22}) \\M_4 &= a_{22}(b_{21} - b_{11}) \\M_5 &= (a_{11} + a_{12})b_{22} \\M_6 &= (a_{21} - a_{11})(b_{11} + b_{12}) \\M_7 &= (a_{12} - a_{22})(b_{21} + b_{22})\end{align*}\]
真正让人惊讶的是下一步：
作者构建的7个矩阵，可以通过有限次的组合成为结果矩阵的一个元素
什么意思呢，让我们尝试展开其中一项：

\[c_{11} = M_1 + M_4 - M_5 + M_7 \\\]

\[\begin{align*}&=(a_{11} + a_{22})(b_{11} + b_{22}) + a_{22}(b_{21} - b_{11}) - (a_{11} + a_{12})b_{22} + (a_{12} - a_{22})(b_{21} + b_{22}) \\ \end{align*}\]

\[\begin{align*}= & \ \ a_{11}b_{11} + \cancel{a_{11}b_{22}} + \cancel{a_{22}b_{11}} + \cancel{a_{22}b_{22}} \\&+ \ \cancel{a_{22}b_{21}} - \cancel{a_{22}b_{11}} \\&- \ \cancel{a_{11}b_{22}} - a_{12}b_{22} \\&+ \ a_{12}b_{21} + \cancel{a_{12}b_{22}} - \cancel{a_{22}b_{21}} - \cancel{a_{22}b_{22}} \\= & \ \ a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}\end{align*}\]
由此，可以类似的推出$c_{12}、c_{21}、c_{22}$均与正常计算一致
最后的结果矩阵为

\[C=\begin{pmatrix}M_{1}+M_{4}-M_{5}+M_{7} & M_{3}+M_{5} \\M_{2}+M_{4} & M_{1}-M_{2}+M_{3}+M_{6}\end{pmatrix}\]
接下来，我们证明其对于n>2时仍然成立：
由于( n=2 )时，我们已经证明其正确
所以，在n>2时，我们采取分块
将原矩阵分为4块，此时我们将其中的子矩阵看为一个元素
那么此时又回归到了标准的2x2的Strassen算法
由此在$n,m \mid 2 $时Strassen算法正确
那么，下一个很自然的问题就是

若$n,m \nmid {2} ,结论是否成立$

我们的做法是，将矩阵分块，分为几个$2^k \times 2^k$的子矩阵以及几个符合矩阵乘规则的小矩阵
显然由于前文的分块算法的正确性，此时的分块仍然正确，对于几个$2^k \times 2^k$的矩阵，我们使用Strassen算法进行计算
现在来计算一下Strassen算法的时间复杂度：
设$ T(n) $ 为计算 $ n \times n $ 矩阵乘法的时间：
$T(n) = 7T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n^2)$

$ 7T(n/2) $：7 个子问题递归计算

$O(n^2) $：矩阵加减法开销（共 18 次加减法）

根据主定理1，
$ a = 7,b = 2,f(n)=\Theta(n^2) $
$log _b a = log_27 \approx 2.807$
由于$log _b a > 2$,所以$f(n) = O({n^{log_b a-\epsilon})} = O(n^{log_27}) \approx O(n^{2.807})$
更精确的，复杂度为$\Theta(n^{2.807})$
具体的算法为：
1.先将矩阵AB分块，分成大小为 ${blocks \times blocks}$ 的若干块以及几个任意大小的子块
2.对于 ${blocks \times blocks}$ 的子块，我们使用Strassen算法计算
3.在递归过程中，若方阵大小（因为Strassen算法开始时为方阵）n = 128，则使用循环优化的矩阵乘法
4.否则，继续按照Strassen算法递归计算直至n = 128
5.对于不是 ${blocks \times blocks}$ 的子块，使用循环优化的矩阵乘法计算
给出如下代码：
近似时间复杂度$O(n^{2.81})$
[code]const int BLOCK_SIZE = 2048;const int STRASSEN_THRESHOLD = 128;// 标准矩阵乘法 (用于小矩阵和边界处理)void standard_matmul(const float* A, const float* B, float* C, int n, int m, int p, int lda, int ldb, int ldc) { for (int i = 0; i < n; ++i) {       for (int k = 0; k < m; ++k) {          float a = A[i * lda + k];          for (int j = 0; j < p; ++j) {             C[i * ldc + j] += a * B[k * ldb + j];          }       } }}// 循环优化矩阵乘法 (n=128时使用)void optimized_matmul(const float* A, const float* B, float* C, int n, int lda, int ldb, int ldc) { for (int i = 0; i < n; ++i) {       for (int k = 0; k < n; ++k) {          float a = A[i * lda + k];          for (int j = 0; j < n; ++j) {             C[i * ldc + j] += a * B[k * ldb + j];          }       } }}// 矩阵加法void matrix_add(const float* A, const float* B, float* C, int n, int lda, int ldb, int ldc) { for (int i = 0; i < n; ++i) {       for (int j = 0; j < n; ++j) {          C[i * ldc + j] = A[i * lda + j] + B[i * ldb + j];       } }}// 矩阵减法void matrix_subtract(const float* A, const float* B, float* C, int n, int lda, int ldb, int ldc) { for (int i = 0; i < n; ++i) {       for (int j = 0; j < n; ++j) {          C[i * ldc + j] = A[i * lda + j] - B[i * ldb + j];       } }}// 结果累加到目标矩阵void matrix_add_to_target(float* T, const float* S, int n, int ldt, int lds) { for (int i = 0; i < n; ++i) {       for (int j = 0; j < n; ++j) {          T[i * ldt + j] += S[i * lds + j];       } }}// Strassen 矩阵乘法 (递归实现)void strassen_matmul(const float* A, const float* B, float* C, int n, int lda, int ldb, int ldc) { // 递归基: n

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