初识反比例函数

1. 文化水平：初二
2. 文章只介绍反比例函数的基础知识及其透彻的理解。

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文章需要掌握的前置知识：

• 初二上学期及以前学龄段的所有知识。
  
• 对函数和一次函数有透彻的理解。
  
• 对反比例函数知道且有一定的了解（不需要太多）。
  

文章需要用到的基本命题：

• 对于平面内的三个点\(A\)、\(B\)、\(C\)，如果满足\(AB+BC=AC\)或\(AB-BC=AC\)或\(BC-AB=AC\)，那么这三个点共线。反之也成立。
  
• 平面直角坐标系中存在的两个点\(A(x_a, y_a)\)、\(B(x_b, y_b)\)，有\(AB=\sqrt {(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}\)。
  
• 对于平面内的三个点\(A\)、\(B\)、\(C\)，如果满足\(\angle {ABC}或\angle {BAC}或\angle {ACB}=180\degree\)，那么这三个点共线。反之也成立。
  
• 在平面直角坐标系中若存在两点\(A\)、\(B\)，则有：\(k_{AB}=\frac {y_A-y_B} {x_A-x_B}\)。式中，\(k_{AB}\)是一条过\(A\)、\(B\)两点的直线的斜率（或其一次函数解析式的\(k\)值）。
  
• 一个点\(P(x, y)\)关于原点对称的点\(P'\)坐标为\((-x, -y)\)。大家可以感性证明一下。提供定理：成中心对称的图形对应点与对称中心共线且对应点到对称中心的距离相等（对称中心为对应点连线的中点）。
  
• 成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分。
  
• 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
  
• 一个点\(P(x,y)\)关于直线\(y=x\)的对称点\(P'\)坐标设为\((y,x)\)。大家可以感性证明一下。由于比命题⑤难，这里提供一种证明：如图，点\(P\)和点\(P'\)关于直线\(y=x\)对称，立得\(y=x\)垂直平分\(PP'\)（⑥）。又得\(OP=OP'\)（⑦）。此时易证\(\triangle OPH≌\triangle OP'H'\)。由图可知\(PH=x, OH=y\)，由全等可得\(PH=P'H'=x, OH=OH'=y\)，则\(P'(y,x)\)。此证明可以类比延拓到第二、三、四象限的任意点\(P\)。命题得证。
  
  
  
  
• 一个点\(P(x,y)\)关于直线\(y=-x\)的对称点\(P'\)坐标设为\((-y,-x)\)。可类比命题⑧证明。
  
• 对于一个正实数\(a\)，\(\sqrt a\)随\(a\)的增大而增大。（证明：函数\(y=\sqrt x\)值随\(x\)的增大而增大。）
  

来源和定义

课本上是这么给出反比例函数的来源的：

在小学里，我们已经知道，如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例。
成反比例两个量之间的关系，怎样用函数表达式来描述呢？

定义：

一般地，形如\(y=\frac k x（k为常数，k\neq 0）\)的函数叫做反比例函数（inverse proportional function），其中\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数。

没有什么问题，但是想要指出一点：
反比例函数写作\(y=\frac k x\)而不写作\(xy=k\)的原因在于\(x\)是自变量，一般放在等式的右边。
另外课本提出：

反比例函数的自变量\(x\)的取值范围是不等于\(0\)的一切实数（非\(0\)全体实数）。

以后写反比例函数时，不再强调\(k为常数，k\neq 0\)，也不强调\(x\neq 0\)。
图像

不得不承认，课本对反比例函数图像的探索十分肤浅（苏科版为例）：

列表：恰当地选取自变量\(x\)的几个值，计算函数\(y\)对应的值。
描点：以表中各对\(x\)、\(y\)的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。
连线：用平滑的曲线顺次连接第一象限内的各点，得到图像的一支；顺次连接第三象限内的各点，得到图像的另一支。两支合在一起这就是反比例函数\(y=\frac k x\)的图像。

“列表”和“描点”步骤没有问题，毕竟是仿照一次函数探索。但是这个“连线”的理论过于突兀，现对此做出补充。
为什么是“平滑的曲线”？

以反比例函数\(y=\frac 6 x\)为例，我们找到了一些自变量\(x\)的值和对应的函数\(y\)的值：
\(x\)\(1\)\(2\)\(3\)\(6\)\(y\)\(6\)\(3\)\(2\)\(1\)并在平面直角坐标系中描出了点：

那问题来了：我为什么一定要认为该函数图像是一条平滑的曲线呢？为什么图像不能是这样：

这样：

抑或是这样？

其中，函数\(x6\}\)，正好经过\((6,1)\)呢？
好了好了，我们不玩梗，认真探讨一下反比例函数的图像为什么是平滑的曲线？
关联：一次函数

应该没有人不知道一次函数的图像是一条直线吧？那我们是如何证明的呢？
我们可以从证明一次函数上任意的三点共线切入。
设在一次函数\(y=kx+b\)的图像上存在三个点\(A(x_1, kx_1+b)\)，\(B(x_2, kx_2+b)\)，\(C(x_3, kx_3+b)\)，且规定\(x_10\]

\[\therefore \frac k a > \frac k b\]

\[又\because a<b\]p/pp因此，反比例函数\(y=\frac k x\{k>0\}\)的每一支上，都有\(y\)随\(x\)的增大而减小。
情况\(2\)：\(k0 \}\)的任一半支上存在两个点\(A(a, \frac k a)\)、\(B(b, \frac k b)\)，且\(a< b\)。
则：</p>
\[\frac k a - \frac k b = \frac {bk-ak} {ab} = -(a-b) \cdot \frac k {ab}\]

\[\because a、b位于反比例函数图像的同一支\]

\[\therefore ab>0\]

\[\because a-b0, k