反比例函数的深层理解、题目技巧与应用

1. 文化水平：初二
2. 文章只介绍反比例函数的深层理解、题目技巧与应用。

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文章需要掌握的前置知识：

• 《初识反比例函数》。
  

对\(k\)的理解

众所周知，反比例函数有且只有一个参数\(k\)，这导致它相对于一次函数来说变数更小。那么，让我们深入理解\(k\)的意义。
在函数\(y=\frac k x\)中，\(k\)又被称为比例系数。它的绝对值在几何上，经常被阐述为：从反比例函数图像上引出的两条垂直于横纵坐标轴的线段与坐标轴所围成的矩形的面积。嗯？很懵？看不懂？那就用“形”的方法直观理解一下吧。

主播也是用上几何画板了好吧awa

在计算机绘图软件中，新建参数\(k\)并新建函数\(y=\frac k x\)。在函数图像上任取一点\(A\)，作\(AM⊥x, AN⊥y\)。然后度量\(AM\)、\(AN\)的坐标距离，并计算\(AM\cdot AN\)（即\(S_{矩形AMON}\)）。拖拽点\(A\)，观察\(AM\cdot AN\)的变化情况。右击参数\(k\)，选择“生成参数的动画”，观察\(AM\cdot AN\)随\(k\)的变化情况。
可以看出，\(AM\cdot AN≡|k|\)，且不随\(A\)点位置变化而变化。因此，我们说，\(|k|\)表示从反比例函数图像上引出的两条垂直于横纵坐标轴的线段与坐标轴所围成的矩形的面积。
接下来，用“数”的方法证明一下吧。
已知反比例函数\(y=\frac k x\)可变形为\(xy=k\)。在平面直角坐标系中，\(x\)、\(y\)的几何含义是坐标系中任意一点的横坐标（\(x\)）和纵坐标（\(y\)）。又已知坐标系中任意一点向\(x\)轴作垂线段长为其纵坐标的绝对值，向\(y\)轴作垂线段长为其横坐标的绝对值，因此有：
反比例函数图像上任意一点横纵坐标的乘积等于\(k\)。
命题得证。
也正是这个原因，反比例函数的题目通常和坐标系中求面积结合起来考查。
待定系数法确定反比例函数

已知反比例函数只有一个参数，因此在使用待定系数法求解时只需要\(1\)个方程即可。这是基本操作。

例题：已知反比例函数图像过\(A(-2, -3)\)，求反比例函数表达式。

\[解：设y=\frac k x（k为常数，k\neq 0），则有：\]

\[\frac k {-2} = -3\]

\[k = 6\]

\[\therefore 反比例函数表达式为y=\frac 6 x。\]
反比例函数与一次函数

在上一章中我们已经证明了反比例函数\(y=\frac k x\)与正比例函数\(y=x\)的交点为\((±\sqrt k, ±\sqrt k)\)，显然它们关于原点对称。那么，能否证明\(y=\frac a x\)和\(y=bx\)的交点也关于原点对称呢？

\[解：设交点坐标为P(m,n)，则有：\]

\[\left\{\begin{aligned}&mn=a&(1)\\&bm=n&(2)\\\end{aligned}\right.\]

\[(2)式代入(1)式，得：\]

\[bm^2=a, m=±\sqrt \frac a b\]

\[代入(1)式，得：\]

\[n=±\frac a m=±\frac a {\sqrt \frac a b}=±\sqrt {a^2 \cdot \frac b a}=±\sqrt {ab}\]

\[\therefore P点坐标为(±\sqrt \frac a b, ±\sqrt {ab})，显然它们关于原点对称。\]
命题得证。
于是，我们得到如下真命题：

反比例函数\(y=\frac {k_1} x\)与正比例函数\(y=k_2x\)（\(k_1\)、\(k_2\)同号）有两个交点，这两个交点关于原点对称。

其实，题目中很多时候会将反比例函数与一次函数结合起来，用图像进行考察。请看下题：

13.一次函数\(y=kx\)与反比例函数\(y=-\frac 4 x\)的图像相交于\(A、B\)两点，点\(A\)的坐标为\((a,2)\)。
\((1)\)求\(a\)、\(k\)的值。
\((2)\)将直线\(y=kx\)向上平移\(m\)（\(m>0\)）个单位长度，与双曲线\(y=-\frac 4 x\)在第二象限的一支交于点\(C\)，与\(x\)轴交于点\(E\)，与\(y\)轴交于点\(P\)。若\(PE=PC\)，求\(m\)的值。

整体思路：

\((1)\)题先代入反比例函数解出\(a\)，然后用一次函数待定系数法解出\(k\)。
\((2)\)题稍难，需要用\(m\)表示\(C\)点的坐标。向上平移\(m\)个单位长度，因此平移后得\(y=-x+m\)。把\(P\)、\(E\)的坐标用\(m\)算出来，然后用平行—中点—“\(8\)”字全等表示\(C\)点坐标再代入反比例函数可以解出\(m\)。

答案：

反比例函数的动点问题

如图，反比例函数\(y=\frac k x\)的图像与一次函数\(y=\frac 1 4 x\)的图像交于点\(A\)、\(B\)，点\(B\)的横坐标是\(4\)。点\(P\)是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线\(AB\)的上方。
\((1)\)若点\(P\)的坐标是\((1,4)\)，直接写出\(k\)的值和\(\triangle PAB\)的面积。
\((2)\)设直线\(PA\)、\(PB\)与\(x\)轴分别交于点\(M\)、\(N\)，求证：\(\triangle PMN\)是等腰三角形。

我们先进行一些前置操作。
\(y_B=\frac 1 4 x_B=1\)，\(B(1,4)\)。
\(k=x_B\cdot y_B=1\times 4=4\)。
计算一下交点\(A: \left\{\begin{aligned}&y_A=\frac 4 {x_A} \\&y_A=\frac 1 4 x_A\\\end{aligned}\right. \)可解得\(A(-4, -1)\)。
第一题很简单，\(k=4\)；
\(S_{\triangle PAB}\)可用割补法得到结果\(15\)。

第二题的话，我们需要理清一下思路。
对于坐标系内证明等腰三角形的“流派”主要有以下\(2\)个：

• 证明\(PM=PN\)（通过距离公式实现）。
  
• 过\(P\)向\(x\)轴引一条垂线\(PH\)，只需证明\(MH=NH\)即可，后续需要完善一下。
  

那么，在这题我们选择哪种方法呢？其实，两种都可以。
不管使用哪种方法，\(P(1,4)\)是没法再用了，我们便只能设\(P(t, \frac 4 t)\)（请出祖传设\(t\)技能），明确\(00\)时的情况。可以发现，当\(k∈\{0