【OpenGL ES】光栅化插值原理和射线拾取原理

1 前言

​    最近在推导光栅化插值公式和射线拾取公式，发现计算过程中有很多共同点，因此将它们放在一篇文章里介绍。具体共同点如下。

• 都引入了四面体模型
  
• 都以四面体的三条边作为基向量构建坐标系（非直角坐标系）
  
• 都需要求解射线向量在基向量上的坐标
  

2 光栅化插值原理

​    光栅化要解决的问题：如下图，已知三角形的三个顶点的坐标及其他属性（如颜色、纹理坐标、法线向量、切线向量、副切线向量等），对于三角形内任意一点，若已知其坐标，求该点的颜色、纹理坐标等属性的值。

​    进一步细化问题：如下图，O 点是坐标原点，已知 A、B、C、Q 4 个点的坐标，假设 Q = x · A + y · B + z · C，求 x 、y、z 的值。

​    定义向量如下。

​    向量 d 可以用向量 a、b、c 线性表示如下。

​    使用矩阵表示如下。

​    求解向量 m 如下。

​    说明如下：

• 向量 m 的几何含义是：若以向量 a、b、c 为坐标轴建立坐标系（非直角坐标系），向量 m 表示向量 d 在该坐标系下的坐标。
  
• 由于 Q 点在 ΔABC 的内部，因此 mx + my + mz = 1，并且 mx >= 0、my >= 0、mz >= 0（第一象限）。
  
• 如果 mx = my = mz = 1 / 3，则 Q 点一定是 ΔABC 的重心。
  

​    为简化计算，可以使用以下数学工具。

• 对于线性方程组 A·x=b，根据克拉默法则可以求解：xi = |Bi| / |A|，其中 Bi 是将矩阵 A 的第 i 列替换为 b 向量后的矩阵。
  
• 假设 3x3 矩阵 A 由 a、b、c 三个列向量组成，则 |A| = a x b · c。
  

2 射线拾取原理

​    参考：直线与三角形相交Moller Trumbore算法推导。
​    如下图，已知 A、B、C、P 4 个点的坐标，向量 n 是由 P 点发射的单位方向向量，Q 点是向量 n 与 ΔABC 的交点，求 Q 点坐标。由于 Q = P + d，因此本节只求向量 d 的坐标。

​    定义向量如下。

​    向量 n 可以用向量 a、b、c 线性表示如下。

​    使用矩阵表示如下。

​    求解向量 m 如下。

​    如果 mx、my、mz 中有一个为负数，说明交点 Q 一定在 ΔABC 外部；如果 mx + my + mz = 0，说明向量 m 与 ΔABC 平行。
​    由于向量 d 与向量 a 线性相关，并且 Q 点在 ΔABC上，可以得出以下方程，求解后即可得到向量 d 的坐标。

​    声明：本文转自【OpenGL ES】光栅化插值原理和射线拾取原理。

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