算法day43-图论（1）

巩芷琪 · 2025-6-17 21:09:10

理论基础
深搜理论基础
所有可达路径
广搜理论基础

一、理论基础

1. 图的种类
　　有向图、无向图、权值
2. 度
　　度【无向图】：有多少条边
　　出度、入度【有向图】：箭头指出去、箭头指回来
　3. 连通性
　　连通图【无向图】：图里面任何一个节点可以到达其他所有节点
　　强连通图：【有向图】：图里面任何一个节点可以到达其他所有节点
　　连通分量【无向图】：极大连通子图，一个子图里面任何一个节点可以到达任何其他节点
　　强连通分量【有向图】
4. 图的构造（很重要！！）
　　朴素存储：二维数组，一一对应，把每条边两个节点记录下来
　　邻接矩阵：二维数组，有相连的就标记为1（缺点是当节点数较多时，占用内存空间）
　　邻接表：数组+链表（适合节点很多，边很少）
5. 图的遍历
　　DFS、BFS
二、深搜理论基础

　　深搜的概念、流程。
　　深搜的伪代码。
三、所有可达路径

98. 所有可达路径

方法一：邻接矩阵存储

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); // 收集符合条件的路径
static List<Integer> path = new ArrayList<>(); // 1节点到终点的路径
public static void dfs(int[][] graph, int x, int n) {
// 当前遍历的节点x 到达节点n
if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历节点x链接的所有节点
if (graph[x][i] == 1) { // 找到 x链接的节点
path.add(i); // 遍历到的节点加入到路径中来
dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归
path.remove(path.size() - 1); // 回溯，撤销本节点
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
// 节点编号从1到n，所以申请 n+1 这么大的数组
int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];
for (int i = 0; i < m; i++) {
int s = scanner.nextInt();
int t = scanner.nextInt();
// 使用邻接矩阵表示无向图，1 表示 s 与 t 是相连的
graph[s][t] = 1;
}
path.add(1); // 无论什么路径已经是从1节点出发
dfs(graph, 1, n); // 开始遍历
// 输出结果
if (result.isEmpty()) System.out.println(-1);
for (List<Integer> pa : result) {
for (int i = 0; i < pa.size() - 1; i++) {
System.out.print(pa.get(i) + " ");
}
System.out.println(pa.get(pa.size() - 1));
}
}
}

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四、广搜理论基础

1. 广搜的概念

广度优先搜索（Breadth-First Search，简称 BFS）是一种图的遍历算法，从起点开始，一层一层地向外扩展搜索，直到遍历完所有可以到达的节点。
它的本质是使用队列（Queue）来保证节点的访问顺序：先进先出，每次从队首取出一个节点，将它未访问的邻接节点加入队尾。
BFS 常用于：

求最短路径（单位边权情况下）
判断连通性、层次结构
拓扑排序等问题

2. 广搜的特点

按“距离起点的远近”逐层扩展
通常需要配合一个 visited[] 数组，防止重复访问
对于无权图最短路径问题非常高效
可用于搜索所有从起点出发的最短可达路径

3. BFS 的伪代码框架

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;
public class Main {
static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); // 收集符合条件的路径
static List<Integer> path = new ArrayList<>(); // 1节点到终点的路径
public static void dfs(List<LinkedList<Integer>> graph, int x, int n) {
if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径
result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i : graph.get(x)) { // 找到 x指向的节点
path.add(i); // 遍历到的节点加入到路径中来
dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归
path.remove(path.size() - 1); // 回溯，撤销本节点
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
// 节点编号从1到n，所以申请 n+1 这么大的数组
List<LinkedList<Integer>> graph = new ArrayList<>(n + 1);
for (int i = 0; i <= n; i++) {
graph.add(new LinkedList<>());
}
while (m-- > 0) {
int s = scanner.nextInt();
int t = scanner.nextInt();
// 使用邻接表表示 s -> t 是相连的
graph.get(s).add(t);
}
path.add(1); // 无论什么路径已经是从1节点出发
dfs(graph, 1, n); // 开始遍历
// 输出结果
if (result.isEmpty()) System.out.println(-1);
for (List<Integer> pa : result) {
for (int i = 0; i < pa.size() - 1; i++) {
System.out.print(pa.get(i) + " ");
}
System.out.println(pa.get(pa.size() - 1));
}
}
}

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4. Java 中 BFS 的实现要点

使用 Queue 作为主队列结构（推荐 LinkedList 实现）
图的存储结构通常使用邻接表 List 或邻接矩阵 int[][]
搭配一个布尔数组 visited[] 或整数数组 dist[] 来记录访问状态或层数

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