二次函数的深层理解、题目技巧和应用

请在学习完初识二次函数后再来学习。
观前提示：本章会不定期增补修改。

主播主播你怎么只知道抄你的反比例函数

别问，问就是懒得重想标题了

（\(2023\)·鼓楼）求下列二次函数的表达式：
\((1)\)已知二次函数图像经过点\((3,0)\)，\((-2,0)\)和\((0,6)\)。
\((2)\)已知二次函数图像顶点为\((2,0)\)且经过\((-2, 4)\)。

解：设二次函数表达式为\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)。
由题意得：

\[\left\{\begin{aligned}&9a+3b+c=0 \\&4a-2b+c=0\\&c=6\\\end{aligned}\right.\]
爆破一手，解得：

\[\left\{\begin{aligned}&a=-1 \\&b=1\\&c=6\\\end{aligned}\right.\]

\[\therefore 二次函数表达式为y=-x^2+x+6\]

解：设二次函数表达式为\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)。
由题意得：

\[\left\{\begin{aligned}&-\frac b {2a}=2 &①\\&\frac {4ac-b^2} {4a}=0&②\\&4a-2b+c=4&③\\\end{aligned}\right.\]
有些同学不知道怎么解的，我把简易过程放在这里。

\[②, 4a\ne 0\Rightarrow 4ac-b^2=0\Rightarrow b^2=4ac\]

\[①\Rightarrow b=-4a\]

\[把b=-4a代入②\Rightarrow 16a^2=4ac\]

\[\because a\ne 0\therefore c=4a\]

\[把b=-4a, c=4a代入③\Rightarrow a=\frac 1 4\]

经过代数爆破，非非非非非非常容易解得：

\[\left\{\begin{aligned}&a=\frac 1 4 \\&b=-1\\&c=1\\\end{aligned}\right.\]

\[\textcolor{red} {经检验}，二次函数表达式为y=\frac 1 4x^2-x+1\]

解：设二次函数表达式为\(y=a(x+h)^2+k(a\neq 0)\)。

\[\because 顶点坐标为(2, 0)\]

\[\therefore h=-2, k=0\Rightarrow y=a(x-2)^2\]
由题意得：

\[a(-2-2)^2=4\]
解得：

\[a=\frac 1 4\]

\[\therefore 二次函数表达式为y=\frac 1 4(x-2)^2\]

解：设二次函数表达式为\(y=a(x+h)^2+k(a\neq 0)\)。

\[\because 函数图像过(3, 0), (-2,0)\]

\[\therefore 根据对称性，顶点横坐标为\frac {3+(-2)} 2=\frac 1 2\]

\[\therefore h=-\frac 1 2\Rightarrow y=a(x-\frac 1 2)^2+k\]
由题意得：

\[\left\{\begin{aligned}&a(3-\frac 1 2)^2+k=0 \\&a(-\frac 1 2)^2+k=6\\\end{aligned}\right.\]
（要注意这边千万不能再用\((3,0)\)和\((-2, 0)\)了，不然算出来方程组无解的。）
解得：

\[\left\{\begin {aligned}& a=-1\\& k=\frac {25} 4\\\end {aligned}\right.\]

\[\therefore 二次函数表达式为y=-(x-\frac 1 2)^2+\frac {25} 4\]

我 们 要 设 表 达 式 为 \(y=a(x-3)(x+2)(a\ne 0)\) 。
由 题 意 得

\[-3\cdot 2a=6\]
解 得

\[a=-1\]

\[\therefore y=-(x-3)(x+2)=-x^2+x+6\]