树与二叉树
github仓库：https://github.com/EanoJiang/Data-structures-and-algorithms树
定义
结点的度数其实就是这个结点下连的线，比如：A的度 = AB+AC+AD = 3
树的度就是MAX(结点的度)
叶子结点就是没后代的结点
树的基本性质
[*]所有结点数 = 所有结点的度数之和 + 1(这个1也就是根节点)
习题：
所有节点数 =4 + 20 * 4 + 10 * 3 + 1 * 2 + 10 * 1+1= 123
123 - 20 - 10 - 1 - 10 = 82
[*]所有结点数 =不同度的节点数 之和
假设所有节点数为n，度0～4的个数为n0～n4，则n = n0 + n1 + n2 + n3 + n4
[*]
第一层m0，第二层m1，第i层m^(i-1)
[*]
等比数列求和公式
二叉树
定义
就是每个分支只有二叉的树，子树有左右之分
基本形态
二叉树的性质
[*]
这是某一层的最多结点数
[*]
[*]这是整个二叉树的最多结点数
[*]n0 = n2 + 1
对于任何非空的二叉树，度0(叶子)和度2的结点数为n0、n2，那么 n0 = n2 + 1
n2 = 0 的时候，n0 = 1，每把一个叶子画一个二叉，n2++，n0++
n = 1 * n1 + 2 * n2 + 1
n = n0 + n1 + n2
解得，n0 = n2 + 1
特殊二叉树
满二叉树
完全二叉树
没有左子树，不能有右子树，上一层没铺满，不能有下一层
判断完全二叉树
不是
是
完全二叉树的性质
1.2.3.就是二叉树的性质
[*]
[*]
[*]如果总结点数-1是奇数，说明有一个度为1的结点
习题
叶子结点出现在最后2层，这里求的是最多，所以最后一层是第7层
第6层最多的结点数=2^(6-1)=32
第6层的非叶子结点=32-8=24
第7层的最多结点数= 24*2 = 48
前6层的最多结点数=2^6 - 1 = 63
总计=63+48 = 111，选c
n = n0+n1+n2
n0=n2+1
所以，n = 2n2 + n1 + 1
而768-1是奇数，所以有一个度为1的结点，即n1 = 1
解得 n2 = 383
n0 = n2 + 1 = 384，选c
n=n0+n1+n2
n1 = 0
n0=n2+1
所以，n = 2n0 - 1 = 2k -1 ，选a
二叉树的实现
顺序结构实现——除了满二叉树和完全二叉树的其他场景比较浪费空间
链式结构实现
//链式结构实现
typedef char ElemType;
//树结点
typedef struct TreeNode {
ElemType data;
TreeNode *lchild;
TreeNode *rchild;
} TreeNode;
//用树结点指针表示二叉树
typedef TreeNode* BiTree;创建二叉树
二级指针概念：
指针pp 存的是 指针p的地址
那么*pp 就是 得到p的地址，**pp就是得到p的值
char str[] = "ABDH#K###E##CFI###G#J##";
int idx = 0;
//创建二叉树
// T是二级指针(BiTree**)
//*T就是对二叉树的结点进行操作
void createTree(BiTree *T)
{
ElemType ch;
ch = str;
if (ch == '#')
{
*T = NULL;
}
else
{
*T = (BiTree)malloc(sizeof(TreeNode));
(*T)->data = ch;
createTree(& ( (*T)->lchild ) );
createTree(& ( (*T)->rchild ) );
}
}遍历
前序遍历
NLR / NRL （根-左-右）/（根-右-左）
不特别说明，一般情况都是先左的遍历
从根节点开始，先从左子结点开始一层层向下递(进栈)并打印，如果左子节点是空就归(出栈)，然后开始递右结点，进行如上同样操作，并向上一层层归，归到根节点后，对根节点的右子节点进行同样的操作。
具体动画演示可以看《数据结构（C 语言描述）》的55:00左右进度条
//前序遍历
void preOrder(BiTree T){
if(T == NULL) return;
printf("%c ", T->data);
//递归子树
preOrder(T->lchild);
preOrder(T->rchild);
}中序遍历
LNR / RNL
从根节点开始，先从左子结点开始一层层向下递(进栈)，如果左子节点是空就归(出栈)并打印，然后开始递右结点，进行如上同样操作，并向上一层层归，归到根节点后，对根节点的右子节点进行同样的操作。
//中序遍历
void inOrder(BiTree T){
if(T == NULL) return;
inOrder(T->lchild);
printf("%c ", T->data);
inOrder(T->rchild);
}后序遍历
LRN / RLN
从根节点开始，先从左子结点开始一层层向下递(进栈)，如果左子节点是空就归(出栈)，然后开始递右结点，进行如上同样操作，在右结点空的时候归(出栈)并打印，并向上一层层归，归到根节点后，对根节点的右子节点进行同样的操作。
//后序遍历
void postOrder(BiTree T){
if(T == NULL) return;
postOrder(T->lchild);
postOrder(T->rchild);
printf("%c ", T->data);
}习题
前：ABDHEICFGJK
中：HDBEIAFCJGK
后：HDIEBFJKGCA
前：ABDEGHCFI
中：DBGEHAFIC
后：DGHEBIFCA
先画出二叉树：
A
/ \
B D
/ / \
C E F后：CBEFDA
二叉树遍历性质
习题
先右后左的中序遍历，RNL，选d
ADB都能画出来，所以选c
1
\
2
\
3选b
(这题不要多选，一般情况只需要考虑先左就行)
f
/ \
c g
\ /
a d
/ \
e b选b
因为对于顺序结构来说，没有的子树节点需要填NULL，所以相当于是高度为5的满二叉树需要的存储单元，也就是二叉树的最大结点数公式，即2^5 - 1 = 31
线索二叉树
目标：构建一个双向循环链表
会出现空余空间不够用的情况吗？
不会，n个节点有n+1个空
代码实现
typedef char ElemType;
typedef struct ThreadNode {
ElemType data;
struct ThreadNode *lchild, *rchild;
int ltag, rtag;
} ThreadNode;
typedef ThreadNode *ThreadTree;ltag：0 指向lchild，1指向前驱
rtag：0 指向rchild，1指向后继
中序遍历线索化
#include #include typedef char ElemType;
typedef struct ThreadNode {
ElemType data;
struct ThreadNode *lchild, *rchild;
int ltag, rtag;
} ThreadNode;
typedef ThreadNode *ThreadTree;char str[] = "ABDH##I##EJ###CF##G##";int idx = 0;ThreadTree prev;//创建二叉树void createTree(ThreadTree *T){ ElemType ch; ch = str; if (ch == '#') { *T = NULL; } else { *T = (ThreadTree)malloc(sizeof(ThreadNode)); (*T)->data = ch; createTree(& ( (*T)->lchild ) ); //lchild有左孩子，则ltag=0 if( (*T)->lchild != NULL){ (*T)->ltag = 0; } createTree(& ( (*T)->rchild ) ); if( (*T)->rchild != NULL){ (*T)->rtag = 0; } }}//线索化——加前驱后继的逻辑void threading(ThreadTree T){ if(T != NULL){ //一直往左边遍历 threading(T->lchild); //当前结点的左孩子为空，当前结点的左孩子设定为指向前驱 if(T->lchild == NULL){ T->ltag = 1; T->lchild = prev; } //前驱结点的右孩子为空，前驱结点的右孩子设定为指向当前结点(当前结点就是前驱节点的后继) if(prev->rchild == NULL){ prev->rtag = 1; prev->rchild = T; } //更新prev到根节点，往右边遍历 prev = T; threading(T->rchild); }}//中序遍历线索化void inOrderThreading(ThreadTree *head ,ThreadTree T){ *head = (ThreadTree)malloc(sizeof(ThreadNode)); (*head)->ltag = 0; (*head)->rtag = 1; (*head)->rchild = (*head); if(T == NULL){ (*head)->lchild = (*head); } else{ //头节点的左孩子指向树的根节点 (*head)->lchild = T; //prev：上一个访问的节点是头节点 prev = (*head); //加前驱后继的逻辑 threading(T); //最后一个节点的右孩子指向头节点 prev->rtag = 1; prev->rchild = (*head); //头节点的右孩子指向遍历的最后一个节点 (*head)->rchild = prev; }}//基于线索的中序遍历void inOrder(ThreadTree T){ ThreadTree current = T->lchild; while(current != T){ //如果当前节点有左孩子，则一直往左边遍历 //没有左孩子，则退出当前循环 输出当前节点 while(current->ltag == 0){ current = current->lchild; } printf("%c",current->data); //往右边遍历, 直到右孩子不为空且当前的右孩子是头节点 while(current->rtag == 1 && current->rchild != T){ current = current->rchild; printf("%c",current->data); } current = current->rchild; } printf("\n");}int main(){ ThreadTree head; ThreadTree T; createTree(&T); inOrderThreading(&head,T); inOrder(head); return 0;}习题
后序遍历：dbca
左虚线是前驱，右虚线是后继
根节点的前驱是头节点NULL
选D
根节点
/ \
Y X后序遍历：YX根
右虚线是后继，所以X的右线索指向根，也就是父节点
选A
中序遍历：debxac
左虚线是前驱，右虚线是后继
所以b、a
选D
哈夫曼树
为什么要学哈夫曼树？
对于这样一个问题，通常用if分支表示
效率很低啊，有没有效率高的方式呢？
有的兄弟有的
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