初识二次函数

1. 仅需通晓初二及其前置知识，和一元二次方程即可学习。

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引入：从方程到函数

回顾我们学习一次函数的时候，探讨了一次函数和一元一次方程的关系，例如一次函数\(y=kx+b(k\neq 0)\)和\(x\)轴交点横坐标就是方程\(kx+b=0\)的解等等。
那么，我们已经学习了一元二次方程，从一次代数的学习正式跨入了二次。那么，你能否想到一种函数，使其与一元二次方程的关系和一次函数与一元一次方程的关系类似呢？
定义：你猜这块会考什么

形如\(y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数, a\neq 0)\)的函数叫作二次函数（\(\text {quadratic function}\)）。
相信同学们一眼就能看出这句话里哪些词最重要。

• \(y=ax^2+bx+c\)是二次函数的定义式，肯定重要。
  
• 但是考试经常考的，和一次函数一样容易错的，必定是\(a\neq 0\)。
  

备注：如果函数可以化成二次函数的定义式而且定义域（我怎么又说漏嘴了）取值范围不变的话，其也是二次函数。

这块有学一次函数的一元二次方程的经验在，就不赘述了。
性质探究：反比例的噩梦终究来到了二次

放一个狗头在这里，各位都知道下一步我们要做什么。
不过，为了降低难度，我决定把定义式\(y=ax^2+bx+c\)先换成特殊情况（\(a=1,b=c=0\)）：\(y=x^2\)。
现在，探究以下问题：

• 画出\(y=x^2\)的图像。
  
• 其图像是一条直线吗？请说明理由。
  
• 增减性如何？请证明。
  
• 对称性如何？请证明。
  
• 有最大 / 最小值吗？是多少？
  
• 你觉得图像里有某个特殊点吗？
  

每一个都是极其恶心的证明题了，不过我们不能不证。记住数学并能做到轻松拓展、发散思维的方法，就是自己探究一遍。
直线还是曲线？

通过描几个点，我们很容易发现它们都不在一条直线上。
\(x\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(y\)\(1\)\(1\)\(4\)但是我们不能以偏概全，要想证明它整体的图像是个曲线，就要仿照反比例函数。

有三个二次函数上的点前来\(\_\_\)。我们设为\(A(a, a^2)\)，\(B(b, b^2)\)，\(C(c, c^2)\)。不妨设\(a