UCB-CS70个人笔记：至少和至多

有趣的命题

在note1中，提出了两个关于“至少”和“至多”的命题：

• There are at least three distinct integers x that satisfy P(x).
  
• 有 最多 三个不同的整数x这满足p（x）。
  

对于这两个命题，可以分别用下面两个式子表达：

• $ \exists x \exists y \exists z (x \neq y \land x \neq z \land y \neq z \land P(x) \land P(y) \land P(z))$
  
• 
  \[\begin{align}&\exists x \exists y \exists z \forall d(P(d) \implies d = x \lor d = y \lor d = z)\\\equiv & \forall x \forall y \forall v \forall z \  (\ (x \neq y \land x \neq v \land  x \neq z \land y \neq v \land y \neq z \land v \neq z) \implies \neg (\ P(x) \land P(y) \land P(v) \land P(z)\ )\ )\end{align}\]
  

第一个命题很好理解。第二个命题则相对复杂。首先看(1)， 它指出：存在三个x、y、z，使得任意一个d，如果P(d)成立，那么d=x或d=y或d=z。命题2的另一种表达是(2)，它指出：对于任意的x、y、v、z，如果四个变量互不相同，那么P(x)、P(y)、P(v)、P(z)不同时成立。
可以想到，如果想要表达命题：恰好存在三个不同的整数x满足P(x)。它的数学表达就是把上面两个命题用“\(\land\)”连接起来。

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