题目描述
我们可以用 2 * 1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个 2 * 1 的小矩形无重叠地覆盖一个2 * n的大矩形,总共有多少种方法?
比如n=3时,2 * 3 的矩形块有3种覆盖方法:
思路及解答
我们需要用若干个2×1的小矩形(可以横放或竖放)无重叠地覆盖一个2×n的大矩形,求总共有多少种不同的覆盖方法。例如当n=3时,共有3种覆盖方法。
通过观察小规模案例,我们可以发现:
- n=1时,只有1种方法(竖放)
- n=2时,有2种方法(两个竖放或两个横放)
- n=3时,有3种方法
- n=4时,有5种方法
显然,这形成了一个类似斐波那契数列的规律:f(n) = f(n-1) + f(n-2)。这一题其实和上面青蛙跳台阶和斐波那契数列是一样的,变的只是场景。
递归
递归是解决这类问题最直观的方法。对于2×n的矩形,我们考虑第一块小矩形的放置方式:
- 如果竖着放,则剩下的部分是2×(n-1)的矩形,有f(n-1)种方法
- 如果横着放,则下方也必须横放一块,剩下的部分是2×(n-2)的矩形,有f(n-2)种方法
因此,总方法数为这两种情况之和:f(n) = f(n-1) + f(n-2),这正是斐波那契数列的递推关系
[code]public class Solution { public int rectCover(int n) { if (n |