Note_Fem边界条件的处理和numpy实现的四种方法
将单元刚度矩阵组装为全局刚度矩阵后,有:此时的线性方程没有唯一解,\(\)是奇异矩阵,这是没有引入边界条件,消除刚体位移的原因.
边界条件分为两类:Forced and Geometric;对于力边界条件可以直接附加到节点力向量\(\)中,即\(P_j=P_j^{*}\),\(P_j^{*}\)是给定的节点力值.
因此我们基本只需要处理Geometric Boundary condition.下面介绍三种方法,将Bcs引入到\(、\)
以位移边界条件为例,指定相关自由度值即:\(\Phi_j=\Phi_j^{*}\)
Method 1
将开头的\([\Phi]=\)划分为:
\[\begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\overrightarrow{\Phi}_1 \\\overrightarrow{\Phi}_2\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\overrightarrow{P}_1 \\\overrightarrow{P}_2\end{Bmatrix}\tag{1}\]
其中,\(\Phi_1\)是未知的自由节点自由度向量(free dofs);\(\Phi_2\)是已知的约束节点自由度值\(\Phi_j^{*}\)向量(specified nodal dof);\(P_1\)是已知节点力向量;\(P_2\)是未知的支反力向量
公式2进一步:
\[\overrightarrow{\Phi}_1+\overrightarrow{\Phi}_2=\overrightarrow{P}_1\tag{2}\]
\[\overrightarrow{\Phi}_1+\overrightarrow{\Phi}_2=\overrightarrow{P}_2\tag{3}\]
这时,\(\)是非奇异矩阵.因此自由节点自由度(未知节点位移)可求:
\[\overrightarrow{\Phi}_1=^{-1}(\overrightarrow{P}_1-\overrightarrow{\Phi}_2)\tag{4}\]
一旦\(\Phi_1\)求得,则未知支反力\(P_2\)可由公式3求得.
Method 2
也称划行划列法.method 1 中需要对\( ,[\Phi],\)进行行列对调,重新排序.当出现非0位移边界时,method 1耗时长且需要记录过程,之后还需要恢复刚度矩阵.因此和method 1等效的处理方法是构建下式:
\[\begin{bmatrix}\left & \left \\\left & \left\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\overrightarrow{\Phi}_1 \\\overrightarrow{\Phi}_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overrightarrow{P}_1-\left\overrightarrow{\Phi}_2\\{\overrightarrow{\Phi}_2}\end{bmatrix}\tag{5}\]
实际计算中,不需要对刚度阵重新排序.算法操作如下:
对所有的约束自由度\(\Phi_j\)重复Step 1~3即可,这种操作能够保持刚度和方程的对称性.
Method 3
该方法也称乘大数法.假设约束自由度为\(\Phi_j=\Phi_j^*\),操作如下:
该方法通用性强,适合大多数的静力学线性问题,但数值精度与大数的取值有关,太小了精度差,太大了容易出现"矩阵奇异"的现象
Method 4(对角元素置1法)
该方法的做法是,对于约束自由度\(\Phi_j=0\),把\(\)的j行j列置0,但对角元素Kjj=1,\(\)中对应元素置0.
以6x6的刚度矩阵为例子,
\[\begin{gathered}\begin{bmatrix}k_{11} & k_{12} & 0 & k_{14} & k_{15} & k_{16} \\k_{21} & k_{22} & 0 & k_{24} & k_{25} & k_{26} \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\k_{41} & k_{42} & 0 & k_{44} & k_{45} & k_{46} \\k_{51} & k_{52} & 0 & k_{54} & k_{55} & k_{56} \\k_{e1} & k_{e3} & 0 & k_{eA} & k_{e5} & k_{e6}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta_1 \\\delta_2 \\\delta_3 \\\delta_4 \\\delta_5 \\\delta_6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_1 \\f_2 \\0 \\f_4 \\f_5 \\f_6\end{bmatrix}\end{gathered}\]
不引入大数,避免了数值稳定性的问题,不会影响矩阵的条件数; 但只适合\(\Phi_j=0\)这样的简单边界;可能影响系统矩阵的特性,直接替换可能改变矩阵的对称性(尤其在动力学和非线性问题中);不能处理非0的位移加载,只能处理力加载
Example
例题来自《The Finite Element Method in Engineering》的悬臂梁模型(example6.4, page227)
静力平衡方程为:
解为:
\\]
\\]
solve by method 1
solve by method 2
循环每个位移约束,需要注意高亮处的操作:
求解:
solve by method 3
Code Realize
四种方法进行Python+Numpy+Scipy编程实现,并与Example的解进行对比.
#-------------------------------------------------------------------------------
# Name: BcsProcess
# Purpose: 引入边界条件到中,并返回解,
# input:
# K:全局刚度矩阵,(M,M) numpy.array
# BcDict:位移约束,key (int) = 自由度序号(1-based) , value (float) = 自由度约束值
# LoadDict:节点力加载,key (int) = 自由度序号(1-based) , value (float) = 施加的节点力加载或者等效节点力加载
#
# Author: Administrator
#
# Created: 08-03-2025
# Copyright: (c) Administrator 2025
# Licence: <your licence>
#-------------------------------------------------------------------------------
import numpy as np
from typing import Dict,List,Tuple
import scipy as sc
def Method1(K:np.ndarray,BcDict:Dict,LoadDict:Dict)->Tuple:
dofNum=K.shape
# 初始化向量
U,P=np.zeros((dofNum,1)),np.zeros((dofNum,1))
prescribedDofIndexs=np.array(list(BcDict.keys()))-1
#使用集合运算,全部自由度与约束自由度求差, 得到自由位移自由度的
freeDofIndexs=np.array(list(set(range(dofNum))-set(prescribedDofIndexs.tolist())),dtype=int)
# 已知节点力加到P
for label,Pval in LoadDict.items():
ind=label-1
P+=Pval
# 已知节点位移(prescribed dof)
for label,Uval in BcDict.items():
ind=label-1
U+=Uval
U2=U)].copy()
# 已知节点力(free dof)
P1=P)].copy()
# 重新划分K行列
K11=K.copy()
K12=K.copy()
K21=K.copy()
K22=K.copy()
# 计算自由节点位移值
U1=np.dot(sc.linalg.inv(K11),P1-K12.dot(U2))
# 计算支反力
P2=np.dot(K21,U1)+np.dot(K22,U2)
# 合并到U,P向量
U)]=U1
P)]=P2
return U,P
def Method2(K:np.ndarray,BcDict:Dict,LoadDict:Dict)->Tuple:
K_origin=K.copy()
dofNum=K.shape
# 初始化向量
U,P=np.zeros((dofNum,1)),np.zeros((dofNum,1))
# 已知节点力加到 P
for label,Pval in LoadDict.items():
ind=label-1
P+=Pval
# 循环所有的位移约束
for label,Uval in BcDict.items():
j=label-1
#Step1
for i in range(dofNum):
P=P-K*Uval
#Step2
for i in range(dofNum):
K=0
K=0
K=1
#Step3
P=Uval
# 求解 K'U=P'
U_=sc.linalg.solve(K,P)
P_=np.dot(K_origin,U_)
return U_,P_
def Method3(K:np.ndarray,BcDict:Dict,LoadDict:Dict)->Tuple:
C=np.max(K)*10e6
K_origin=K.copy()
dofNum=K.shape
# 初始化向量
U,P=np.zeros((dofNum,1)),np.zeros((dofNum,1))
# 已知节点力加到 P
for label,Pval in LoadDict.items():
ind=label-1
P+=Pval
# 循环所有位移约束
for label,Uval in BcDict.items():
j=label-1
# Step1
K=K*C
# Step2
P=K*Uval
# 求解 K'U=P'
U_=sc.linalg.solve(K,P)
P_=np.dot(K_origin,U_)
return U_,P_
def Method4(K:np.ndarray,BcDict:Dict,LoadDict:Dict)->Tuple:
if np.any(np.array(list(BcDict.values())) != 0):
raise ValueError('该方法不能处理非0位移加载')
K_origin=K.copy()
dofNum=K.shape
# 初始化向量
U,P=np.zeros((dofNum,1)),np.zeros((dofNum,1))
# 已知节点力加到 P
for label,Pval in LoadDict.items():
ind=label-1
P+=Pval
# loop all nodal bcs
for label, Uval in BcDict.items():
j=label-1
K=0.0
K[:,j]=0.0
K=1.0
P=0
# solve K'U=P'
U_=sc.linalg.solve(K,P)
P_=np.dot(K_origin,U_)
return U_,P_
if __name__ == '__main__':
K=np.array([,
,
[-12,-600,12,-600],
])
Bcs={1:0,2:0}
loads={3:-50,4:20}
# 精确解
extract_U=np.array()
extract_P=np.array()
# 求解
u,p=Method4(K,Bcs,loads)
print(f"extract U=\n{extract_U}")
print(f"u=\n{u.T}")
print(f"extract_P=\n{extract_P}")
print(f"p=\n{p.T}")计算结果:
extract_U=
extract_P=
solving by method 1
u=
[]
p=
[]
solving by method 2
u=
[]
p=
[]
solving by method 3
u=
[[-1.04166667e-11 -3.11250000e-13 -1.65666667e+01 -2.48000000e-01]]
p=
[]
solving by method 4
u=
[]
p=
[]总结
列举了四种直接节点位移边界条件的处理办法,并编程实现,求解案例.对比结果发现:相比Method3存在数值误差,其他三个都更加精确.
如果需要处理多点耦合边界条件,则有罚函数法,拉格朗日乘子法等.
参考资料:
[*]有限元基础编程 | 边界条件专题(对角元素置"1"法、乘大数法、划行划列法、拉格朗日乘子法、罚函数法)
[*]范雨有限元博客
[*]有限元软件开发致力于国产大型通用商业有限元计算软件的开发
[*]Singiresu S. Rao, sixth edition
Note Completed at 2025/03/08
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