仙人掌生成器
背景网上找不到正确生成仙人掌的 gen，唯一的一篇似乎是错误的，所以手写一篇。
仙人掌的定义
仙人掌：任意一条边最多出现在一个简单环中的无向连通图。
生成算法
给定 \(n\) 作为仙人掌结点数。先随机生成一棵树，作为目标仙人掌的一棵 dfs 树，这保证了图连通这一条件，接下来要做的就是不断往这棵树上加非树边，同时满足「任意一条边最多出现在一个简单环中」这一限制条件。可选地，我们可以限制边数上界。
考虑 dfs 这棵树，当前在 \(u\)，尝试添加一条以 \(u\) 为上端点的非树边，那么下端点 \(v\) 需要满足：\(u\rightarrow v\) 路径上的树边均未被环包含。于是我们可以在 dfs 的时候 return 出一个 \(v\)，作为未来可能作为下端点的点。
\(u\) 的初始返回值就是其本身。考虑 dfs 完 \(u\) 的一个孩子 \(v\)，返回值为 \(t\)，我们有一定概率用 \(t\) 替换 \(u\) 的返回值，如果不作为范围值，有一定概率尝试将 \(u,t\) 之间加一条非树边。
另外，我们可以在此基础上进行适当扩展，例如，要求环必须全都是奇环，要求不能有重边。注意，在允许重边的前提下，重边的个数不能超过 \(2\) 条。
算法分析
该算法的时间复杂度为：\(\mathcal{O}(n+m)\)。
虽然该算法不能保证等概率地，在所有 \(n\) 个结点的仙人掌中，随机选择一棵仙人掌，但是作为对拍的 gen 已经足够了。
代码实现
使用 C++ 实现，请使用 C++14 及以上版本编译。
支持修改随机数种子（默认为当前时间戳）、是否允许重边、是否只允许奇环、点数、边数上界（默认为 \(-1\) 即不限制）。
将生成的仙人掌输出到标准输出流，额外的信息、错误信息输出到标准错误流。程序返回值为 \(0\) 表示生成成功。
输出格式：第一行两个以空格分隔的整数 \(n,m\)，分别表示仙人掌的结点数、边数；接下来 \(m\) 行表示仙人掌的边。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <random>
#include <chrono>
using namespace std;
/* =========== Parameter =========== */
const int SEED = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
bool multiedge = false;
bool onlyOddCircle = false;
int n = 1000000;
int m_limit = -1;// -1 for not limit
/* =========== Parameter =========== */
void _err(const char* msg, int lineNum) {
fprintf(stderr, "Error at line #%d: %s\n", lineNum, msg);
exit(1);
}
#define err(msg) _err(msg, __LINE__)
inline int rand(int l, int r) {
static mt19937 rnd(SEED);
if (l > r) err("invalid range");
return l + rnd() % (r - l + 1);
}
vector<pair<int, int>> edges;
vector<vector<int>> son(n, vector<int>());
vector<int> dpt(n);
int dfs(int u) {
int res = u;
for (size_t i = 0; i < son.size(); ++i) {
int v = son;
dpt = dpt + 1;
int t = dfs(v);
if (rand(0, son.size()) == 0)
res = t;
else if ((t != v || multiedge)
&& ((dpt - dpt + 1) % 2 == 1 || !onlyOddCircle)
&& (m_limit == -1 || (int)edges.size() < m_limit))
edges.emplace_back(u, t);
}
return res;
}
signed main() {
// freopen("yzh", "w", stdout);
if (n < 1) err("n shouldn't be less than 1");
if (m_limit != -1 && m_limit < n - 1)
err("m_limit shouldn't less than n-1");
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int fa = rand(0, i - 1);
edges.emplace_back(fa, i);
son.emplace_back(i);
}
dfs(0);
for (size_t i = 1; i < edges.size(); ++i)
swap(edges, edges);
printf("%d %d\n", n, (int)edges.size());
for (size_t i = 0; i < edges.size(); ++i) {
int u = edges.first;
int v = edges.second;
if (rand(0, 1)) swap(u, v);
printf("%d %d\n", u + 1, v + 1);
}
fprintf(stderr, "Success!\n");
fprintf(stderr, "n = %d, m = %d\n", n, (int)edges.size());
fprintf(stderr, "circle = %d\n", (int)edges.size() - (n - 1));
return 0;
}一些扩展
随机生成的仙人掌环特别小，作为对拍来说够用了。如果是造数据，希望生成一个大一点的环，提前类似基环树的方式，在根部放一个大环，对环上每一个节点应用仙人掌生成算法，即可。
Checker
写了一个程序用来验证 gen 的正确性。使用并查集判断连通性、dfs 序求 \(\operatorname{lca}\)、差分完成树链覆盖。时间复杂度是 \(\mathcal{O}(m+n\log n)\) 的，尽管可以优化到线性 \(\mathcal{O}(n+m)\)。
支持修改是否检查仅允许奇环。
从标准输入流读入图，程序返回值为 \(0\) 表示图为仙人掌。
#include #include #include using namespace std;/* =========== Parameter =========== */bool checkOnlyOddCircle = false;const int N = 1e6 + 10;/* =========== Parameter =========== */void _err(const char* msg, int lineNum) { fprintf(stderr, "Error at line #%d: %s\n", lineNum, msg); exit(1);}#define err(msg) _err(msg, __LINE__)const int lgN = __lg(N) + 1;int n, m;namespace $dsu {int fa;int get(int x) { return fa == x ? x : fa = get(fa); }}vector son;vector edges;int fa, dpt;int st, idx, timer;void dfs(int u) { st = ++timer] = u; for (int v : son) { if (v == fa) continue; fa = u, dpt = dpt + 1; dfs(v); }}inline int Min(int u, int v) { return dpt < dpt ? u : v;}inline int lca(int u, int v) { if (u == v) return u; if ((u = idx) > (v = idx)) swap(u, v); int p = __lg(v - u++); return fa, st = tv; son.emplace_back(v); son.emplace_back(u); } } for (int i = 2; i
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