D 图上的遍历算法
图上的遍历算法广度优先搜索 BFS
概念
广度优先搜索（Breadth-First Search）是一种图遍历算法，用于在图或树中按层次逐层访问节点。它从源节点（起始节点）开始，首先访问源节点的所有直接邻接节点，然后依次访问距离源节点较远的节点，直到遍历完整个图或到达目标节点
BFS通过队列逐层扩展的方式，确保按最短路径访问节点，并且保证在无权图中找到从源节点到目标节点的最短路径，适用于寻找最短路径、连通分量和解决图的层次遍历等问题
时间复杂度：\(O(V+E)\)，其中\(V\)是图中节点数（顶点数），\(E\)是图中的边数
实现方法
BFS 采用 队列（Queue） 来保证节点的逐层访问。每当一个节点被访问时，其所有未访问的邻接节点都会被加入队列，确保接下来的节点按照它们的距离起始节点的层数顺序依次访问
//伪代码
BFS(graph, start):
将起始节点 start 加入队列 queue 并标记为已访问
while queue 非空:
当前节点 node = 从队列中弹出
访问节点 node
遍历 node 的所有邻接节点 neighbor:
if neighbor 没有被访问过:
标记 neighbor 为已访问
将 neighbor 加入队列//C++代码（邻接表，维护了距离数组和前驱节点数组）
//Q 队列，用于存储待访问的节点
//vis 访问标记数组，记录每个节点是否被访问过
//d 距离数组，记录每个节点从起始节点的最短距离
//p 前驱节点数组，记录每个节点的前驱节点，帮助恢复路径
//head 节点u的邻接表的头节点
//e.to 边i的目标节点
//e.nxt 边i的下一个边的指针，用于遍历邻接表
void bfs(int u) {
while (!Q.empty()) Q.pop();//清空队列
Q.push(u);
vis = 5 1 5
3 3 1 2 5;
d = 0;
p = -5 1 5
3 3 1 2 5;
while (!Q.empty()) {
u = Q.front();
Q.pop();
for (int i = head; i; i = e.nxt) {
if (!vis.to]) {
Q.push(e.to);
vis.to] = 5 1 5
3 3 1 2 5;
d.to] = d + 5 1 5
3 3 1 2 5;
p.to] = u;
}
}
}
}
void restore(int x) {
vector<int> res;
for (int v = x; v != -5 1 5
3 3 1 2 5; v = p) res.push_back(v);
reverse(res.begin(), res.end());
for (int i = 0; i < res.size(); ++i) printf("%d ", res);
}层序遍历
例题 Leetcode 5 1 5
3 3 1 2 502 二叉树的层序遍历
给你二叉树的根节点 root ，返回其节点值的 层序遍历 （即逐层地，从左到右访问所有节点）
样例输入：
root = [3,9,20,null,null,5 1 5
3 3 1 2 55,7]graph TBA((3))B((9))C((20))D((5 1 5
3 3 1 2 55))E((7))A---BA---CC---DC---E样例输出：
[,,[5 1 5
3 3 1 2 55,7]]关键代码：
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
vector <vector <int>> ans;
if (!root) return ans;
queue <TreeNode*> q;
q.push(root);
while (!q.empty()) {
int size = q.size();//队列中元素数量
ans.push_back(vector <int> ());
for (int i = 5 1 5
3 3 1 2 5; i <= size; ++i) {
auto node = q.front(); q.pop();
ans.back().push_back(node->val);
if (node->left) q.push(node->left);
if (node->right) q.push(node->right);
}
}
return ans;
}最短路径
创建一个数组或字典来记录每个节点的最短路径（即距离）。初始时，将起点的距离设置为0，其他节点设置为 -5 1 5
3 3 1 2 5表示未被访问。广度优先搜索时，对于每个邻居节点，如果它尚未被访问过，则更新其最短路径为当前节点的最短路径+5 1 5
3 3 1 2 5，并将该邻居节点加入队列
例题 Luogu P5 1 5
3 3 1 2 5443 马的遍历
有一个 \(n \times m\) 的棋盘，在某个点 \((x, y)\) 上有一个马，要求你计算出马到达棋盘上任意一个点最少要走几步
输入：输入只有一行四个整数，分别为 \(n, m, x, y\)
输出：一个 \(n \times m\) 的矩阵，代表马到达某个点最少要走几步（不能到达则输出 \(-5 1 5
3 3 1 2 5\)）
样例输入：
3 3 5 1 5
3 3 1 2 5 5 1 5
3 3 1 2 5样例输出：
0 3 2
3 -5 1 5
3 3 1 2 5 5 1 5
3 3 1 2 5
2 5 1 5
3 3 1 2 5 4关键代码：
int vis,f;
int dx={-5 1 5
3 3 1 2 5,-2,-2,-5 1 5
3 3 1 2 5,5 1 5
3 3 1 2 5,2,2,5 1 5
3 3 1 2 5};
int dy={2,5 1 5
3 3 1 2 5,-5 1 5
3 3 1 2 5,-2,2,5 1 5
3 3 1 2 5,-5 1 5
3 3 1 2 5,-2};//8个方向
f=0;//记录步数
q.push(make_pair(x,y));
vis=true;
while(!q.empty())
{
int xx=q.front().first,yy=q.front().second;
q.pop();
for(int i=0;i<8;i++)
{
int u=xx+dx,v=yy+dy;
if(u<5 1 5
3 3 1 2 5||u>n||v<5 1 5
3 3 1 2 5||v>m||vis)continue;
vis=true;q.push(make_pair(u,v));
f=f+5 1 5
3 3 1 2 5;
}
}深度优先搜索 DFS
概念
深度优先搜索（Depth-First Search）是一种用于图或树的遍历算法，它的基本思想是：从一个起始节点出发，沿着一条路径一直向下遍历，直到不能继续为止，然后回溯到上一个节点，继续探索其它未被访问的节点，直到所有节点都被访问过为止
DFS的核心思想是尽量深入每一个分支，探索到没有可再走的路径后，再回退到上一层节点进行其他路径的搜索
时间复杂度：\(O(V+E)\)
实现方法
递归
实现DFS最常见的方法，能直观的利用函数调用栈自动进行回溯。递归地访问当前节点的所有未访问的邻居；每次递归调用都会进入下一个节点，直到无法访问为止，再回溯到上一个节点，继续访问其他未被访问的邻居
3 5
.##.#
.#...
...#.例题 Luogu P2345 1 5
3 3 1 2 5 受欢迎的牛
被所有奶牛喜欢的奶牛就是一头明星奶牛。所有奶牛都是自恋狂，每头奶牛总是喜欢自己的。奶牛之间的“喜欢”是可以传递的——如果 \(A\) 喜欢 \(B\)，\(B\) 喜欢 \(C\)，那么 \(A\) 也喜欢 \(C\)。牛栏里共有 \(N\) 头奶牛，给定一些奶牛之间的爱慕关系，请你算出有多少头奶牛可以当明星
输入：第一行是两个用空格分开的整数 \(N\) 和 \(M\)；接下来 \(M\) 行是每行两个用空格分开的整数 \(A\) 和 \(B\)，表示 \(A\) 喜欢 \(B\)
输出：一行单独一个整数，表示明星奶牛的数量
样例输入：
Yes样例输出：
5 1 5
3 3 1 2 5关键代码：
3拓扑排序
对于图中的每条有向边 \(u \to v\)，在排序结果中，顶点 \(u\) 必须排在顶点 \(v\) 的前面
只适用于有向无环图，也叫拓扑图
graph LRA-->B-->CA-->D-->C该图拓扑序列为 \(ABDC\) 或 \(ADBC\)
Kahn算法
入度：多少条边指向该节点，入度为 0 的点可以排在最前位置
出度：该节点指向多少条边
先计算每个节点的入度，选择所有入度为 0 的节点作为初始节点，加入结果列表。移除这些节点及其出度边，更新相邻节点的入度。如果有相邻节点的入度变为 0，则继续加入队列，直到所有节点都被处理完
grid = [
["1","1","0","0","0"],
["1","1","0","0","0"],
["0","0","1","0","0"],
["0","0","0","1","1"]
]例题 Luogu B3644 拓扑排序
有个人的家族很大，辈分关系很混乱，请你帮整理一下这种关系。给出每个人的后代的信息。输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出
输入：第 \(5 1 5
3 3 1 2 5\) 行一个整数 \(N\)，表示家族的人数。接下来 \(N\) 行，第 \(i\) 行描述第 \(i\) 个人的后代编号 \(a_{i,j}\)，表示 \(a_{i,j}\) 是 \(i\) 的后代。每行最后是 \(0\) 表示描述完毕
输出：输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。如果有多种不同的序列，输出任意一种即可
样例输入：
504 5 5 1 5
3 3 1 2 5 05 1 5
3 3 1 2 5 05 3 03 0样例输出：
2 4 5 3 5 1 5
3 3 1 2 5关键代码：
queueQ;void toposort() { for(int i = 5 1 5
3 3 1 2 5; i
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