吴恩达深度学习课程一：神经网络和深度学习 第三周：浅层神经网络（二）
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本篇为第一课第三周，3.6到3.10部分的笔记内容。
经过第二周的基础补充，本周内容的理解难度可以说有了很大的降低，主要是从逻辑回归扩展到浅层神经网络，讲解相关内容，我们按部就班梳理课程内容即可，当然，依旧会尽可能地创造一个较为丝滑的理解过程。
我们继续上一篇的内容，来展开一下激活函数对浅层神经网络拟合效果的影响，并完成浅层神经网络的反向传播部分，这样，我们就大致了解了浅层神经网络相比逻辑回归，是如何提高算法性能的。
1. 浅层神经网络里的激活函数
1.1 隐藏层激活函数的作用
在逻辑回归中，我们知道，最后使用sigmoid激活函数是为了让加权和映射为概率从而实现分类效果。
而现在，如果我们仍要进行二分类，而浅层神经网络输出层的sigmoid函数已经实现了分类效果，那隐藏层再使用激活函数的作用是什么？
我们看一看如果不设隐藏层神经元的激活函数，正向传播的输出是什么形式：
[*]首先，隐藏层只有线性组合，那么隐藏层的输出就是加权和本身:
\[\mathbf{Z^{}} = \mathbf{W^{}} \mathbf{X} + \mathbf{b^{}}\]
[*]现在，隐藏层的加权和就是输出层的输入，即：
\[\mathbf{Z^{}} = \mathbf{W^{}}( \mathbf{W^{}} \mathbf{X} + \mathbf{b^{}} ) + \mathbf{b^{}}= \mathbf{W^{}}\mathbf{W^{}} \mathbf{X}+(\mathbf{W^{}}\mathbf{b^{}} + \mathbf{b^{}})\quad (1 \times m)\]
[*]我们观察一下就会发现，\(\mathbf{Z^{}}\) 的实际形式没有发生任何变化，我们换一个示例看一下：
\
可以发现，其形式依旧是“权重 × 输入 + 偏置”的线性表达式。
也就是说，无论我们堆叠多少层这样的“线性层”，最后得到的结果仍然等价于一个没有任何非线性能力的线性模型。这与逻辑回归本质上并没有区别。
在这种情况下，多层和一层的区别就相当于：
\
\
这便是激活函数的核心作用：引入非线性
1.2 激活函数如何引入非线性？
我们已经知道， 在没有激活函数的情况下，神经元的输出是：
\[\mathbf{A^{}} = \mathbf{Z^{}} = \mathbf{W^{}}\mathbf{X} + \mathbf{b^{}}\]
而当我们加入激活函数 \(g(x)\) 后，输出就变成：
\[\mathbf{A^{}} = g(\mathbf{Z^{}}) = g(\mathbf{W^{}}\mathbf{X} + \mathbf{b^{}})\]
因为此时，下一层的输入就变成了一个经过非线性映射的结果：
\[\mathbf{Z^{}} = \mathbf{W^{}},g(\mathbf{W^{}}\mathbf{X} + \mathbf{b^{}}) + \mathbf{b^{}}\]
这意味着：
如果 \(g(x)\) 是线性的（例如恒等函数 \(g(z)=z\)），网络整体依旧是线性关系；
而只要 \(g(x)\) 是非线性函数（如 Sigmoid、ReLU、tanh 等），网络整体的映射关系就无法再化简为一个单一的线性变换。
我们继续刚刚那个例子：
\
现在我们只改一点，把激活函数换成ReLU，即：
\
隐藏层的传播过程即为：
\} = 2x + 1,\quad A^{} = \max(0, 2x+1)\]
再输入输出层：
\} = 3A^{} + 1 = 3\max(0, 2x+1) + 1\]
这个时候，整体的输出函数变成：
\
这就是一个分段线性函数，可以拐弯、有“折点”，不再是单一直线。
那如果再换成更复杂的激活函数呢？
这也意味着网络具备了拟合非线性关系的能力。
最后看一张图：
我们想通过图中的几个数据点进行拟合，没有激活函数，我们就只能像左侧一样画一条直线，而只有使用了激活函数，我们才能让这条直线弯曲，来实现更好拟合效果。
1.3 常见的激活函数
在了解了激活函数的作用——为神经网络引入非线性能力之后，我们来看看几种常见的激活函数及其特性。不同的激活函数，会对神经元的输出特征、梯度传播和训练效果产生显著影响。
（1）Sigmoid 函数
Sigmoid 的表达式为：
\
其输出范围在 \((0, 1)\) 之间，形状如“S”型曲线。
Sigmoid 的优点在于它可以将任意实数映射为 \((0,1)\)，非常适合二分类任务的输出层，例如预测概率。
缺点是当输入较大或较小时，梯度接近 0，容易出现梯度消失问题，导致网络难以训练。
（2）Tanh函数
Tanh 是 Sigmoid 的改进版本，其表达式为：
\
输出范围在 \((-1, 1)\) 之间，同样是“S”型曲线。
Tanh 的优点在于输出均值为 0，有助于加快梯度下降的收敛，并在一定程度上缓解了梯度消失问题。
缺点在于，当输入过大或过小时，依然会出现梯度趋于 0 的饱和现象。
如果把 Sigmoid 看作“挤压到 ”，那么 Tanh 就是“挤压到 [-1,1]”，更加对称，有利于后续层学习，因此，Tanh比sigmoid更适合作为隐藏层的激活函数。
（3）ReLU函数
ReLU 是目前最常用的激活函数之一，定义为：
\
当输入为正时，输出等于自身；当输入为负时，输出为 0。
ReLU 的优点在于计算简单，梯度传播效率高，并且在正区间保持线性，减少了梯度消失问题，从而加快训练速度。
缺点在于对于负输入，梯度恒为 0，容易出现“神经元死亡”现象，即某些神经元永远输出 0，无法更新。
（4）Leaky ReLU（带泄漏的 ReLU）
为了缓解 ReLU 的“神经元死亡”问题，便出现了 Leaky ReLU：
\
其中 \(\alpha\) 是一个很小的常数（通常取 0.01）。Leaky ReLU 的优点在于对负区间保留一个微小的斜率，避免梯度完全为 0，从而训练更加稳定，减少“死神经元”的出现。
缺点是其输出仍然不是严格的零中心，且 \(\alpha\) 的选取需要进行调试。
2.浅层神经网络的反向传播
我们知道，在浅层神经网络里，我们涉及到两个层级各自的权重和偏置，因此，不同于逻辑回归中的一次更新，我们这次需要在一次反向传播过程中，更新两个层级的参数。
参数的传递过程如下：
\[\begin{aligned}&\text{隐藏层参数（4个神经元）：} \\&\Delta W^{}, \Delta b^{} \;\; \to \;\; \Delta Z^{} \;\; \to \;\; \Delta A^{} \\\\&\text{输出层参数（1个神经元）：} \\&\Delta W^{}, \Delta b^{} \;\; \to \;\; \Delta Z^{} \;\; \to \;\; \Delta A^{} \to \;\; \Delta L\\\end{aligned}\]
2.1 损失函数
我们知道二分类交叉熵成本函数格式如下：
\[\mathcal{L} = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \Big[ y^{(i)} \log a^{(i)} + (1 - y^{(i)}) \log (1 - a^{(i)}) \Big]\]
向量化后即可表示为： $$ \mathcal{L}(\mathbf{A^{}}, \mathbf{Y}) $$
我们依旧通过损失函数，使用链式法则来计算梯度。
2.2 输出层梯度
输出层激活函数为 \(sigmoid(x)\)
而输出层误差定义为：
\[\mathbf{dZ^{}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{Z^{}}} \]
在第二周的推导中，我们已经知道，对于二分类交叉熵 + sigmoid，损失对加权和的导数可简化为：
\[\mathbf{dZ^{}} = \mathbf{A^{}} - \mathbf{Y} \quad (1 \times m)\]
继续通过链式法则，我们得到输出层权重和偏置的梯度（详细过程可看第二周的推导）：
\[\mathbf{dW^{}} = \frac{1}{m} \mathbf{dZ^{}} (\mathbf{A^{}})^T \quad (1 \times 4)\]
\[\mathbf{db^{}} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \mathbf{dZ^{(i)}} \quad (1 \times 1)\]
3.3 隐藏层梯度
对于隐藏层，这里我们便不定义具体的激活函数，用通式来展示过程：
先梳理一下我们现在有的量：
[*]损失对输出层加权和的导数\(\mathbf{dZ^{}}\)
[*]隐藏层的加权和\(\mathbf{Z^{}}\)
[*]隐藏层的的加权和经过激活函数的输出\(\mathbf{A^{}}\)
[*]隐藏层的激活函数\(g(\mathbf{Z^{}})\) 和它的导数\(g'(\mathbf{Z^{}})\)
[*]隐藏层的参数\(\mathbf{W^{}}\),\(\mathbf{b^{}}\)
现在，我们要求隐藏层参数的梯度，首先要得到损失关于隐藏层输出的导数，即：
\[\mathbf{dA^{}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{A^{}}} \]
再通过链式法则细化一下，我们得到：
\[\mathbf{dA^{}} = \mathbf{dZ^{}}⋅ \frac{\partial \mathbf{Z^{}}}{\partial \mathbf{A^{}}} \]
再看一眼加权和公式：
\[\mathbf{Z^{}} = \mathbf{W^{}}\mathbf{A^{}}+ \mathbf{b^{}} \quad (1 \times m)\]
所以，通过求导我们得到：
\[\mathbf{dA^{}} = \mathbf{(W^{})^T}\mathbf{dZ^{}},转置为了匹配维度\quad (4 \times m)\]
下一步，得到损失关于隐藏层加权和的输出，即：
\[\mathbf{dZ^{}} = \mathbf{dA^{}}⋅ \frac{\partial \mathbf{A^{}}}{\partial \mathbf{Z^{}}} \]
而隐藏层输出对加权和求导，其实就是激活函数的导数：\(g'(\mathbf{Z^{}})\)
因此，我们得到：
\[\mathbf{dZ^{}} = \mathbf{dA^{}}⋅ g'(\mathbf{Z^{}})\quad (4 \times m)\]
注意！这里的乘是Hadamard 乘。
Hadamard 乘激活导数 = 对每个神经元每个样本的误差单独乘上对应的激活导数
到了这一步，我们就可以得到最后的梯度：
\[\mathbf{dW^{}} = \frac{1}{m} \mathbf{dZ^{}} \mathbf X^T \quad (4 \times n)\]
\[\mathbf{db^{}} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \mathbf{dZ^{}_{:,i}} \quad (4 \times 1)\]
还没完，这里还有一点要强调，注意看这个符号：\(\mathbf{dZ^{}_{:,i}}\)
我们之前的逻辑回归，以及本次传播的输出层偏置，使用的符号都是\(\mathbf{dZ^{(i)}}\),对这个符号求平均就代表对 \(m\) 个样本在同一神经元上的误差求平均。
而现在，我们的隐藏层有四个神经元，由此解释一下\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \mathbf{dZ^{}_{:,i}}\) 的含义：
[*]"\(:\)"代表所有行
[*]"\(:,i\)"代表第 \(i\) 列
[*]"\(\sum_{i=1}^{m} \mathbf{dZ^{}_{:,i}}\)"代表对\(dZ^{}\) 的每一列求和，得到的结果是所有样本分别在四个隐藏神经元总误差
[*]最后求平均值，即为平均误差，现在， 每个元素就对应一个隐藏神经元的偏置梯度。
我们也总结一下反向传播过程中各个量和其维度：
量维度说明Xn × m输入特征W4 × n隐藏层权重b4 × 1 → 4×m隐藏层偏置（广播）Z4 × m隐藏层线性组合A4 × m隐藏层激活输出W1 × 4输出层权重b1 × 1 → 1×m输出层偏置（广播）Z1 × m输出层线性组合A1 × m输出层激活输出dZ1 × m输出层误差dW1 × 4输出层权重梯度db1 × 1输出层偏置梯度dA4 × m输出层误差传回隐藏层dZ4 × m隐藏层误差（Hadamard乘激活导数）dW4 × n隐藏层权重梯度db4 × 1隐藏层偏置梯度3.4 更新参数
在完成所有梯度计算后，我们就可以使用梯度下降法来更新网络的权重和偏置，公式如下：
（1） 输出层参数更新
\[\mathbf{W^{}} := \mathbf{W^{}} - \eta\mathbf{dW^{}}\]
\[\mathbf{b^{}} := \mathbf{b^{}} - \eta \mathbf{db^{}}\]
（2） 隐藏层参数更新
\[\mathbf{W^{}} := \mathbf{W^{}} - \eta\mathbf{dW^{}}\]
\[\mathbf{b^{}} := \mathbf{b^{}} - \eta\mathbf{db^{}}\]
这样，我们就完成了浅层神经网络的一个反向传播过程的梳理。
相比逻辑回归，浅层神经网络在一次反向传播中更新了两层参数，而在之后的更复杂的神经网络结构中，隐藏层数量也不只一层，这样，在一次反向传播中，就会更新更多的参数。
但其形式，也只是像现在这样的通过链式法则的层层求导，更新即可。
所以，之后便会尽量少的出现这样比较繁杂的求导，但前提是要了解神经网络通过反向传播更新参数的逻辑。
下一篇即为本周理论部分的最后一部分，是神经网络的参数初始化，也是多个隐藏层神经元能发挥不同作用的原因。
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