[信号与系统个人笔记]第二章 连续时间信号与系统的时域分析
Update[*]2025.8.25
[*]2.1 系统微分方程的经典解
2.1 系统微分方程的经典解
微分方程的基本概念
对于单输入单输出的\(LIT\)连续系统来说，描述其输入-输出关系 的数学模型是\(n\)阶常系数线性微分方程，一般形式为：
\
\[\sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m}b_{j}e^{(j)}(t)\]
[*]初始条件：\(n\)阶系统在\(t=0\)时候接入激励，响应在\(t=0_{+}\)时刻的值：
[*]初始条件表示激励接入后的瞬间
\
[*]初始状态：\(n\)阶系统在激励 没有接入的\(t=0\)时刻的响应值，该 值反映了系统的历史情况，与激励无关：
[*]初始状态表示激励接入前的瞬间
\
微分方程的经典解
齐次解\(y_{h}(t)\)
[*]微分方程右侧为零时称为齐次方程，即\(\sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=0\)
[*]齐次解指齐次方程的解，只由系统的特征根决定
\(n\)阶微分方程的齐次解
\
特征方程：
\[\lambda^{n}+a_{n-1}+\lambda^{n-1}+\dots+a_{1}\lambda+a_{0}=0\]
其中\(\lambda_{i}\)为方程的特征根
[*]特征根均为单根：\(y_{h}(t)=\sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda_{i}t}=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}+\dots+C_{n}e^{\lambda_{n}t}\)
[*]特征根含有\(r\)重根\(\lambda_{i}\)：\(r\)重根对应\((C_{1}t^{r-1}+C_{2}t^{r-2}+\dots+C_{r-1}t+C_{r})e^{\lambda_{i}t}\)
[*]特征根 含共轭复根\(\lambda_{1,2}=\alpha\pm j\beta\)：共轭复根对应的解为：
[*]\(e^{\alpha t}\)
[*]\(Ae^{\alpha t}\cos(\beta t-\theta),Ae^{j\theta}=C_{1}+jC_{2}\)（辅助角公式）
\(n\)阶微分方程的特解\(y_{p}(t)\)
形如\(y''+py'+qy=e^{\lambda x}P_{m}(x)\)：
设特解形如：\(y^{*}=x^{k}e^{\lambda x}Q_{m}(x)\)
其中\(Q_{m}(x)\)为一个待定的\(m\)次多项式
\
将\(y^{*}\)回带原微分方程确定系数即可
形如\(y''+py'+qy=e^{\lambda x}\)：
设特解形如\(y^{*}=x^{k}e^{\lambda x}\)
其中\(Q_{1}(x),Q_{2}(x)\)为待定\(m\)次多项式，\(m=max\{ l,n \}\)
\
将\(y^{*}\)回带原微分方程确定系数即可
\(n\)阶微分方程的全解\(y(t)\)
[*]\(y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)\)
[*]此时齐次解中还有待定系数\(C_{i}\)，\(n\)阶微分方程需要利用\(n\)个初始条件\(y(0_{+}),y'(0_{+}),\dots,y^{(n-1)}(0_{+})\)来确定
[*]齐次解\(y_{h}(t)\)又被称作自由响应
[*]特解\(y_{p}(t)\)又被称作强迫响应
自由响应与强迫响应
[*]自由响应：仅与系统本身特性有关，而与激励的形式无关，其次解仅与系统特征根有关，特征根成为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应
[*]强迫响应：与激励的函数形式有关，特解的形式与激励的形式有关，常称为强迫响应
暂态响应和稳态响应
[*]暂态响应：指响应中暂时出现的分量，随着时间增长\(t\to \infty\)，它将消失\(\to 0\)
[*]稳态响应：指稳定的分量，常以阶跃函数\(\varepsilon(t)\)和周期函数\(\sin \omega t,\cos \omega t\)等形式存在
[*]对于\(LTI\)连续系统的微分方程\(y''(t)+5y'(t)+6y(t)=\varepsilon(t)\)以及全响应\(y(t)=-e^{-2t}+3\)
[*]暂态响应为\(-e^{-2t}\)，稳态响应为\(3\)
[*]自由响应为\(-e^{-2t}\)，强迫响应为\(3\)
初始状态和初始条件的讨论
[*]实际中，往往先得知系统的初始状态，即先得知激励接入前系统的历史信息
[*]由于激励的接入，从\(0_{-}\)时刻过渡到\(0_{+}\)时刻之后，初始状态和初始条件往往不一样，我们用跳变量表示这个变化
[*]求解微分方程需要从已知的初始状态\(y^{(j)}(0_{-})\)求得初始条件\(y^{(j)}(0_{+})\)
基本思路
[*]如果激励加入后，在方程右端出现\(\delta(t)\)及其各阶导数，则在方程左端也应有与之对应的\(\delta(t)\)及其各阶导数项，使方程两段平衡
[*]冲激函数的产生，意味着方程左端\(y^{d(i)}(t)\)中的某些项在\(t=0\)处有阶跃的跳变
[*]两种求解初始条件的主要方法：待定系数法和冲激平衡法，后续做题主要使用后者
例
某\(LTI\)连续系统的微分方程为\(y''(t)+4y'(t)+3y(t)=e''(t)+2e'(t)+e(t)\)，已知系统激励\(e(t)=\varepsilon(t)\)，系统的初始状态为\(y(0_{-})=0,y'(0_{-})=1\)，试求系统的初始条件\(y(0_{+}),y'(0_{+})\)
法1：待定系数法
\[\begin{align}&设y''(t)=\delta'(t)+a\delta(t)+\varepsilon(t)\\ \\&积分得y'(t)=\delta(t)+a\varepsilon(t)\quad y(t)=\varepsilon(t)\\ \\&带入原微分方程,只关注冲激项得:\\\\&\delta'(t)+(4+a)\delta(t)=\delta'(t)+2\delta(t)\\ \\&对比得4+a=2\to a=-2\\ \\&则\begin{cases}y'(t)=\delta(t)-2\varepsilon(t)\\ \\y(t)=\varepsilon(t)\end{cases}\\ \\&\begin{cases}y'(0_{+})=y'(0_{-})+y_{e}'(0_{+})=1-2=-1\\ \\y(0_{+})=y(0_{-})+y_{e}(0_{+})=0+1=1\end{cases}\end{align}\]
法2：冲激平衡阵列
暂时还听不懂这部分，等明白了再回来重新写
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