有限Abel群的结构(3)
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作者：窗户
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E-mail：6679072@qq.com本节在上一节的结论基础上，通过程序对于给定阶数生成该阶下所有可能的Abel群。
有限Abel群结构定理
我们再回忆一下有限Abel群的所有可能结构：
任何一个阶数大于1的有限Abel群都可以同构为数个阶数大于1的循环群的直积$Z_{a_1} \otimes Z_{a_2} \otimes ... \otimes Z_{a_n}$，并满足各循环群的阶数从左到右为约数关系，也就是$a_1|a_2|...|a_n$，另外$a_1,a_2,...,a_n$相乘等于原Abel群的阶数。
另外，
如果$a_1,a_2,...,a_n$都是大于1的整数，$b_1,b_2,...,b_m$也都是大于1的整数,
$a_1|a_2|...|a_n$，并且$b_1|b_2|...|b_m$，
那么$Z_{a_1} \otimes Z_{a_2} \otimes ... \otimes Z_{a_n} \cong Z_{b_1} \otimes Z_{b_2} \otimes ... \otimes Z_{b_m}$
的充要条件是
$m=n \land a_1=b_1 \land a_2=b_2 \land ... \land a_n = b_n$
也就是只要有一个循环群不同，两个Abel群就不同构。
比如$72$阶Abel群，总共有以下几个同构：
$Z_{72}$
$Z_2 \otimes Z_{36}$
$Z_3 \otimes Z_{24}$
$Z_6 \otimes Z_{12}$
$Z_2 \otimes Z_2 \otimes Z_{18}$
$Z_2 \otimes Z_6 \otimes Z_6$
以下，我们用程序实现，还是继续选择Python语言。
生成器递归实现
我们首先考虑生成器，我想程序员们大多对于此问题应该有递归的直觉。递归很多时候在于问题的分解。
Python的生成器其实是有点拗口的，它从语法上并非那么自然，使得像我这样有点语法洁癖的人，总觉得有点疙瘩。
比如如下代码：
def f(x): if x
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