【数学·线性代数】线性方程组
2.2.线性方程组2.2.1.初等矩阵变换
[*]把某一行乘一个非零的数；
[*]交换某两行；
[*]把某行的若干倍加到另一行上去。
2.2.2.高斯消元解m×n线性方程组\(O(mn^2)\)
\(\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\\vdots\\a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\Rightarrow =A'_{m×(n+1)}\)
高斯消元化\(A'_{m×(n+1)}\)的A为行最简形，得到\(A''_{m×(n+1)}\)：
h和l都从1开始。借助循环依次处理第1~n列。对于第l列：
[*]在第h~m行中，找到第l列系数的绝对值最大的一行\(h_{max}\)。
如果该系数不为0，记录\(key_h=l\)。
否则，第h~m行的第l列全是0，结束本轮循环，不要执行循环底部的h++，只执行l++处理完第l列。
[*]将第\(h_{max}\)行与第h行交换。（交换某两行）
[*]将交换后的第h行的第一个有效数字（第l列）变成1。（把某一行乘一个非零的数）
[*]将上下除第h行外的所有行的第l列清成0。（把某行的若干倍加到另一行上去）
[*]执行循环底部的h++。
执行后如果h>m，跳出循环；否则执行l++处理完第l列。
r(A)=h-1。
判断解的个数：
[*]有解 \(\Leftrightarrow\) r(A)==r() \(\Leftrightarrow\) \(\forall i\in\cap\mathbb{Z},A''_{i,n+1}==0\)。
[*]有唯一解 \(\Leftrightarrow\) r(A) == r() == n。
[*]否则有无穷多解。
[*]否则无解。
求出一个合法解：
令\(x_{key_i}=A''_{i,n+1},i\in\cap\mathbb{Z}\)，其余的即为自由变量\(x_j=0\)。
若要求出其他的合法解，则令自由变量\(x_j\)取任意常数，代入方程求出\(x_{key_i}\)。
//i：m；j：nint m,n;double a,x;int ra,key;int gauss(){ //高斯消元化A'_{m×(n+1)}的A为行最简形，得到A''_{m×(n+1)} int h,l; for(h=1,l=1;l0) key=l; //如果该系数不为0，记录key_h=l else continue;//否则，第h~m行的第l列全是0，结束本轮循环，不要执行循环底部的h++，只执行l++处理完第l列 //将第h_max行与第h行交换。（交换某两行） for(int j=l;j=l;j--) a/=a; //将上下除第h行外的所有行的第l列清成0。（把某行的若干倍加到另一行上去） for(int i=1;i=l;j--) //倒序是因为要用到a被清成0之前的值，到l为止是因为a已经被上面清成0了 a-=a*a; //把某行的若干倍加到另一行上去，达到下面所有行的第l列清成0的目的 //思维：此时可以把外层循环i看作定值，且a=1 } //执行循环底部的h++ h++; if(h>m) break;//执行后如果h>m，跳出循环；否则执行l++处理完第l列 } ra=h-1; //判断解的个数 for(int i=ra+1;i
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