圆方树学习笔记
元方树。下文除特殊强调外，所有图皆为无向图。
引入
[*]割点：在图中，删除某个点后，导致图不再连通的点。
[*]点双连通：在一张图中，取两个点 \(u\)、\(v\)，无论删去哪个点（除 \(u\)、\(v\) 自身外），\(u\)、\(v\) 都能连通，我们就说 \(u\) 和 \(v\) 点双连通。
[*]点双连通分量（后文称点双）：对于一个无向图中的极大点双连通的子图，我们称这个子图为一个点双连通分量。
（from OI Wiki）
（下文中 \(u \leftrightarrow v\) 表示 \(u\) 和 \(v\) 在同一个点双里，这只是我个人的写法，实在懒得写了）
但点双性质实在不优秀，\(a \leftrightarrow b, b \leftrightarrow c\) 并不能推出 \(a \leftrightarrow c\)。
定义两条边相邻为：
[*]两条边有公共顶点。
定义两条边属于同一个点双：
[*]设两条边为 \((a, b)\)、\((c, d)\)，满足 \(\forall (x, y) \in \{a, b\} \times \{c, d\}, x \leftrightarrow y\) 就称 \((a, b)\) 和 \((c, d)\) 属于同一个点双（即 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\)）。
发现把边的定义整出来似乎就优秀了。
结论 \(1\)：若 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\) 且 \((c, d) \leftrightarrow (e, f)\)，则 \((a, b) \leftrightarrow (e, f)\)
证明：
[*]根据定义，\((a, b) \leftrightarrow (e, f)\) 等价与 \(\forall (x, y) \in \{a, b\} \times \{e, f\}, x \leftrightarrow y\)，
[*]又 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\)、\((e, f) \leftrightarrow (c, d)\)。
[*]则任意的二元组 \((x, y)\)（这是二元组，不是边），一定满足 \(x\)、\(y\) 都与 \(c\)、\(d\) 两点属于同一个点双。
[*]我们从图中删掉 \(c\)、\(d\) 中的任意一个都可以通过另外一个点从 \(x\) 到达 \(y\)。
[*]如果删除的点不是 \(c\)、\(d\) 也能到达（\(x \leftrightarrow c\)、\(y \leftrightarrow c\)、\(x \leftrightarrow d\)、\(y \leftrightarrow d\)， 不连通才怪……）。
[*]\(a \leftrightarrow e\)、\(a \leftrightarrow f\)、\(b \leftrightarrow e\)、\(b \leftrightarrow f\)。
[*]得证。
（借用一下 OI Wiki 的图，侵删）
众所周知，一条返祖边（非树边）可以使原图多一个点双。
那什么时候才能使两个点双合并成一个点双呢？
考虑把所有边都对应一个点，如果产生了一个点双则将所有在原图中相邻的的边对应的点连起来（即上图蓝边）。
只要蓝边相邻就可合并为同一个点双。
结论 \(2\)：对于树上的一个点双，深度最浅的点只有一个儿子。
证明：
使用反证法。
[*]若一个点双深度最浅的点有超过一个儿子。
[*]则其儿子中任意两个点均可以通过删掉父亲使其不连通，与定义不符。
[*]则一个点双深度最浅的点不会有超过一个儿子。
[*]得证。
正题
概念
圆方树是什么？
把一张图的所有点双统计出来，并对于每一个点双，新建一个方点（原图的点为圆点）。
将点双内所有圆点之间的边断开（点双外不断），并连到新建的方点上，如下图。
（好吧还是 OI Wiki 的）
实现
跑点双最好用的还是 tarjan 啊……
记 \(\text{dfn}_i\) 为点 \(i\) 的 dfs 序。
\(\text{low}_i\) 为点 \(i\) 能够通过非树边到达的 dfs 序最小的点的 dfs 序（包括它本身）。
结论 \(3\)：根据 结论 \(2\)，对于任意一条树边 \((u, v)\)，满足 \(u \leftrightarrow v\) 且 \(u\) 为点双最浅的点。
均满足 \(\text{low}_v = \text{dfn}_u\)（或 \(\text{low}_v \ge \text{dfn}_u\)）。
证明：
[*]既然 \(u\)、\(v\) 属于同一个点双，则其必有一条非树边连向上面。
[*]则 \(v\) 点必能通过非树边走到 \(u\)。
[*]它无法继续通过树边走到下面（结论 \(2\)）。
[*]也无法通过另外一条非树边走到上面（若有非树边能通向上面，则 \(u\) 就不是点双最浅点了）。
后面基本就跟普通 tarjan 一样了，贴个代码（点双模板）：
void tarjan(int u) {
st.push(u); // 把节点放到栈里
dfn = low = ++tot;// 更新两个值
for (int v : g) {
if (!dfn) { // 没访问过
tarjan(v); // 访问
low = min(low, low);// 更新
if (low >= dfn) { // 改成 == 也行
d_tot++; // 点双个数加 1
d.push_back(u); // 更新点双
while (st.top() != v) { // 用栈死命弹
int t = st.top();
d.push_back(t);
st.pop();
}
d.push_back(v);
st.pop();
}
} else
low = min(low, dfn);// 更新
}
if (g.size() == 0) {// 特判单独一个点
d_tot++;
d.push_back(u);
}
}建一颗圆方树也就简单了（前文有注释的就没写了）：
void tarjan(int u) {
dfn = low = ++tot;
st.push(u);
for (int v : g) {
if (!dfn) {
tarjan(v);
chmin(low, low);
if (low >= dfn) {
h_tot++; // 建立方点
h.push_back(u);// 无向图
h.push_back(h_tot);
while (st.top() != v) {
int t = st.top();
h.push_back(t);
h.push_back(h_tot);
st.pop();
}
h.push_back(v);
h.push_back(h_tot);
st.pop();
}
} else {
chmin(low, dfn);
}
}
}一个技巧：区分圆点方点的最好方法就是把方点的下标从 \(n + 1\) 开始，即 h_tot 的初值赋为 \(n\)。
胜利！！！
例题
洛谷 P4320 道路相遇
建一棵圆方树。
观察到 \(u\) 到 \(v\) 的路径的必经点就是圆方树上 \(u\) 到 \(v\) 的路径上的圆点个数。
题目就转换成了一个树上路径问题。
倍增 LCA 即可。
namespace zqh {const int N = 1000005;int n, m, q, dfn, low, tot, h_tot, f, dep;stack st;vector g, h;void tarjan(int u) {// 圆方树，注释前文有写 dfn = low = ++tot; st.push(u); for (int v : g) { if (!dfn) { tarjan(v); chmin(low, low); if (low >= dfn) { h_tot++; h.push_back(u); h.push_back(h_tot); while (st.top() != v) { int t = st.top(); h.push_back(t); h.push_back(h_tot); st.pop(); } h.push_back(v); h.push_back(h_tot); st.pop(); } } else { chmin(low, dfn); } }}void dfs(int u, int fa, int dp) {// LCA，不用说啦吧 f = fa; dep = dp; for (int x : h) { if (x == fa) continue; dfs(x, u, dp + 1); }}void build() { int t = log2(n); for (int i = 1; in >> m; h_tot = n; for (int i = 1; i > u >> v; g.push_back(v); g.push_back(u); }}void solve() { for (int i = 1; i > q; while (q--) { int u, v; cin >> u >> v; cout
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